【代数】代数求值（知识点：完全平方式）

作者: 数学辅导小孚 | 来源:发表于2018-11-16 17:09 被阅读0次

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已知实数x满足 $x^2+\frac{1}{x^2}+x-\frac{1}{x}$ =4，则 $x-\frac{1}{x}$ 的值为（）

A -2 B 1 C -1或2 D -2或1

分析：

试图根据 $x^2+\frac{1}{x^2}+x-\frac{1}{x}$ =4去求x的值，这几乎是不可能的事，那么我们观察一下这个等式，再观察一下需要求值的代数式 $x-\frac{1}{x}$ ，我们不难发现可以将 $x-\frac{1}{x}$ 当做一个整体。

那么 $x-\frac{1}{x}$ 如何和 $x^2+\frac{1}{x^2}$ 联系起来呢？

平时练习多了，不难发现 $(x-\frac{1}{x} )^2=x^2+\frac{1}{x^2}-2$ ，这是一个完全平方式

那么 $x^2+\frac{1}{x^2} = (x-\frac{1}{x} )^2 + 2$

∴ $x^2+\frac{1}{x^2}+x-\frac{1}{x}$ = $(x-\frac{1}{x} )^2 + 2$ + ( $x-\frac{1}{x}$ )=4

另 $x-\frac{1}{x}=a$

则： $a^2+2+a=4$

$\implies$ $a^2$ +a-2=0

$\implies$ (a+2)(a-1)=0

$\implies$ a=-2或1

那么 $x-\frac{1}{x}$ 的值为-2或1 选D

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