随机变量概念
随机变量与确定性变量的区别:
- 随机变量发生与否及其结果,随事件(试验结果)而定,人预先不可知。如彩票开奖等。
- 确定性变量:在发生之前即可知道结果。如在理想情况下(不考虑阻力风速等),一个人以
的速度前进,
秒后前进了多少米。
随机变量的分类:
- 离散型:掷骰子
- 连续型:电视机的寿命
离散型随机变量的分布
概率函数与分布函数定义
对于一个随机变量,人们更关注于取一个值的概率是多少,因此引入了概率函数。
定义:关于的概率函数,有
某一事件概率的集合称为分布函数,定义:设为随机变量,则函数
称为的分布函数。
分布函数的性质
-
是单调非降的,当
时,则有
- 当
时,
,当
时,有
。
几种常见的分布
1、二项分布,记为
检查某厂产品次品率的大小,从中抽取若干件,检查次品数量
的大小。
其中二项分布需要满足两个要求:
1.各次试验中的条件是稳定的,保证不会发生改变。
2.各个事件相互独立。
2、泊松分布,记为
泊松分布与二项分布之间的关系。
设所观察时间段为,取一个很大的
,则有
。假设:
- 在每段
内,事件发生的概率与时间长度成正比,取
。那么,在
很大的情况下,这么短时间内不可能同时发生两次事件。因此,在
内不发生的概率为
。
-
相互独立。
则有,在内发生
件事件的概率为:
当时:
3、超几何分布
总共有件商品,里面有
件次品,问取出得
件商品中,含有
件次品的概率。
4、负二项分布
检查某厂产品次品率的大小,从中一件一件抽取,直到抽中
件次品为止。
记为已经检测合格的产品数量。
与二项分布的区别:二项分布总是定下总的抽检数,把废品个数
作为变量,而负二项分布则是定下次品数
,把合格数量定为
。
连续型随机变量的分布
密度函数定义及解释
定义:设连续型随机变量的分布函数为
,则其导数
称为
的概率密度函数。
解释:由导数的物理意义可知,事件的概率应为
。所以
可以理解为在单位点
附近
这么长的区间内,单位长所占的的概率。即总质量为1的金属棒,概率密度相当于杆上的各点的质量密度。
特点:
- 对于任何常数
,都有
1、正态分布,记为
。
如果一个随机变量具有概率密度函数
![](https://img.haomeiwen.com/i15756588/f4b9832f4131e7de.png)
正态分布的性质:
-
函数图像关于
对称
- 当
时,称为标准正态分布。
- 一般的,若
, 则有
-
为服从正态分布的随机变量
的分布函数,则有
2、指数分布
指数分布的概率函数为
指数函数的分布函数为:
在指数函数中,常用于寿命分布,的意义为,元件在时刻
尚能工作的情况下,其失效率为某个常数
,与
无关。另外,
就是平均寿命。
3、均匀分布,记为
均匀分布的概率密度函数为:
均匀分布的分布函数为:
![](https://img.haomeiwen.com/i15756588/b4d77d682e282db2.png)
随机变量的函数分布
随机变量是随机变量
的函数,且有
.
- 当
为离散型随机变量时:
也是离散型随机变量,则通过
即可算出
的分布。
- 当
为连续型随机变量时:先求出
的分布函数
,然后求
导函数即可。
注意两点
- 在随机变量函数
中,区分清楚
各自代表的含义是什么。
- 在处理类似于
这类函数时,考虑好
分布函数中和事件的关系。
的范围问题:
3.1时需要考虑
3.2 在完成计算后需要再次检验。
参考文献
- 《概率论与数理统计》
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