规范对称和对称

规范对称和对称

当我们量子化时，为了方便，一般是要选定一个规范。但是有意思的是，选定规范的理论可能还有一些残留的规范对称。这些残留的规范对称反而升级变成了真正的对称性。用Feddeev-Popov的范式可以这样理解。确定规范的时候，需要在路劲积分确定规范的Dirac函数和一个Jacobian作为规范空间的测度。当这个测度有零点的时候，也就是Jacobian简并的时候，就说明存在一些残留的规范对称。而这些残留的对称性对应的模并不会被鬼粒子抵消掉，也就是说量子化这些残留的对称性对应的态会作为物理态被保留下来，从而这些残留的规范对称升级成了真正的对称！
下面我举3个例子。

1 电磁场论

一个现在比较前沿的研究就是关于记忆效应，类似超平移的渐进对称的红外物理。这次渐进对称就是一种残留规范对称。引力的渐进对称所对应的无穷多的守恒量有可能解释信息悖论。电磁场论也有类似的红外物理。比如我选择洛伦兹规范来量子化，在这个规范下, Jacobian是一个Laplace算符，也就是一个波动算符，所以当波动算符有零模的时候，Jacobian就会简并。但是一般我们选择边界条件是，在无穷远出规范场为0。在这样的边界条件下，波动算符没有没有零模，因为Laplace在平凡边界下只有平凡解。但是我们如果放松边界调节，仅仅要求规范场在无穷远渐进为0，那么波动方程的就可以具有零模了！这些零模就是所谓的large规范变化，会改变柯西数据，从而改变物理态，所以这些规范变换是真正的对称变换。

2 弦论

弦论是和引力耦合的二维场论。他的规范变换有三个：2个微分同胚和一个Weyl变换。利用这个三个规范对称我们总可以把弦论的度规选为正交归一，因为2维的度规只有3个变量。但是这里有两个问题。一是，即使我们使用了3个规范对称确定了规范，还是会有些规范对称残留下来，这些残留下来的规范对称是微分同胚和Weyl的某种组合，这些残留的对称就是共形对称(conformal)。所以我们才会说，弦论是一个2维的共形场论。二是，这样确定规范我们只是局域的确定了规范性，可能全局上我们还有一些残留, 称为模量(modulus)。这些模量也是物理的，要在路径积分里面积分。

广义相对论

爱因斯坦的广义相对论也是一个规范场论。坐标的任意性就是时空的规范对称性，也就是4维的微分同胚。在4维时空，4维时空的度规有10个独立变量，利用4个微分同胚我们去掉4个变量。选定坐标系之后，残留的规范变换就是局域洛伦兹变换，因为洛伦兹群有6个操作，所以我们用这个6个操作总可以把度规选为正交归一，这就是爱因斯坦的等价性原理：时空是局域平坦的。而我们知道洛伦兹对称是真正的对称！