调和分析笔记: Littlewood-Paley理论

作者: xhje | 来源:发表于2018-07-19 19:30 被阅读0次

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最近看调和分析看得头痛, 为了整理思路, 也为了方便别人, 我把看书(主要是张晓轶的Lecture Notes on the Basic Analysis Tools for Critical Dispersive PDEs)遇到的gap都填上, 写成这篇笔记. 这篇笔记过去长时间处于未完成/低质量状态, 这次决心把坑填好.

首先我们需要紧支光滑函数来实现频率的局部化, 比方说如果 $\phi\in C_c^\infty(U)$ , 那么 $(\phi \widehat f)^\vee$ 的频率(即它的Fourier变换)就被限制在了 $U$ 内.

取函数 $\phi\in C^\infty_c(\mathbb{R}^d)$ , 满足以下条件:
(1) $0\le\phi\le1$ ,
(2)在 $B_1(0)$ 上 $\phi\equiv1$ , 且 $\operatorname{supp}\phi\subset\{|x|\le2\}$ ,
(3) $\phi$ 是径向函数, 且关于 $|x|$ 递减.

这样的 $\phi$ 是存在的, 但是这里我们不讨论它的存在性(可以磨光 $\chi_{B_{3/2}(0)}$ 得到, 磨光函数可见Evans偏微分方程第五章). $\phi$ 取好后就固定, 并且在这篇文章里我们把字母 $\phi$ 特别地留给这个函数, 而不做它用.

定义 $\psi(x)=\phi(x)-\phi(2x)$ , 则首先容易检验 $\psi$ 有如下性质:
(1) $0\le\psi\le1$ ,
(2) $\psi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ , 且 $\operatorname{supp}\psi\subset\{1/2\le|x|\le2 \}$ ,
(3) $\psi$ 是径向函数.

同样的, 字母 $\psi$ 特别地留给这个函数, 而不做它用.

定义 $\phi_j=\delta^{2^{-j}}\phi$ , $\psi_j=\delta^{2^{-j}}\psi$ . 这里 $\delta$ 是伸缩算子, 定义为 $\delta^\lambda f(x)\overset{def}{=}f(\lambda x)$ . 那么:
(1) $\operatorname{supp}\phi_j\subset\{|x|\le2^{j+1}\}$ ,
(2) $\operatorname{supp}\psi_j\subset\{2^{j-1}\le|x|\le2^{j+1}\}$ .

我们将会看到, $\{\psi_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$ 构成了 $\mathbb{R}^d\setminus\{0\}$ 的局部有限的单位分解.

引理1. $\forall x\in \mathbb{R}^d\setminus\{0\}$ , 有
$\sum_{j=-\infty}^\infty\psi_j(x)=1$
这个求和应该这样来理解: 对任何固定的 $x\ne0$ , 上面的求和中最多仅有三项非零, 所以实际上对每个 $x\ne0$ 来说这都是一个有限和.
证明. 由 $\operatorname{supp}\psi_j\subset\{2^{j-1}\le|x|\le2^{j+1}\}$ 知对任何固定的 $x\ne0$ , 上面的求和中最多仅有三项非零.
$\sum_{j=-\infty}^\infty\psi_j(x)=\sum_{j=-\infty}^\infty\psi(2^{-j }x)=\sum_{j=-\infty}^\infty\left(\phi(2^{-j }x)-\phi(2^{-j +1}x)\right)$
$=\lim_{N\rightarrow+\infty}\sum_{j=-N}^N\left(\phi(2^{-j }x)-\phi(2^{-j +1}x)\right)$
$=\lim_{N\rightarrow+\infty}(\phi(2^{-N}x)-\phi(2^{N+1}x))=1$
$\blacksquare$

有了这些光滑截断函数, 我们可以来局部化一个函数的频率.

定义三族Littlewood-Paley算子 $\{P_k \}_{k\in\mathbb{Z}}$ , $\{P_{\le k} \}_{k\in\mathbb{Z}}$ 和 $\{P_{>k}\}_{k\in\mathbb{Z}}$ , 它们是 ${\mathscr S}'$ 到 ${\mathscr S}'$ 的映射, 定义为
$P_kf\overset{def}{=}(\psi_j\widehat f)^\vee=\check\psi_j\ast f$
$P_{\le k}f\overset{def}{=}(\phi_j\widehat f)^\vee=\check\phi_j\ast f$
$P_{>k}f\overset{def}{=}f-P_{\le k}f$

由于Schwartz函数与缓增分布的卷积是一个不超过多项式增长的光滑函数(见Grafakos, GTM249), 所以我们知道 $P_kf$ 和 $P_{\le k}f$ 都是不超过多项式增长的光滑函数, 并且由Young不等式知当 $f\in L^p$ 时, $P_kf$ , $P_{\le k}f$ 都属于 $L^p$ .

现在我们对任一缓增分布 $f$ 定义Littlewood-Paley平方函数 $Sf$ .
$Sf(x)=\left(\sum_{k=-\infty}^{+\infty}|P_kf(x)|^2\right)^{1/2}$
注意 $Sf$ 是逐点定义的.

为了证明Littlewood-Paley定理, 我们需要一族Rademacher函数 $\{r_m(t)\}_{m\ge0}$ . 我们定义 $r_0(t)$ 是一个 $\mathbb{R}$ 上周期为1的周期函数, 满足
$r_0(t)=\left\{ \begin{array}{ll} &1, \ \ \ \ \ (0\le t<1/2) \\ &-1,\ \ (1/2\le t<1) \end{array} \right.$
再定义 $r_m(t)=r_0(2^mt)$ . 易见 $r_m$ 的周期为 $2^{-m}$ , 它在 $[0,2^{-m})$ 上前一半是1, 后一半是-1.

引理2. 设 $0\le m_1<\cdots < m_k$ 是一些互不相等的整数, 则
$\int_0^1r_{m_1}(t)\cdots r_{m_k}(t)dt=0$
证明. 把 $[0,1]$ 分成 $2^{m_k}$ 个区间讨论即可, 在每个区间上积分都是零, 加起来自然也是0.
$\blacksquare$

这个引理有一个很简单但是等下会用到的推论.

推论3. 如果 $\int_0^1r_{m_1}(t)\cdots r_{m_k}(t)dt\ne0$ , 那么 $k$ 是偶数, 并且 $m_1,\ldots,m_k$ 可以分为 $k/2$ 组, 每组里的两个数相等. 并且此时 $r_{m_1}(t)\cdots r_{m_k}(t)\equiv1$ .

对一个 $l^2$ 中的元素 $a=\{a_m\}_{m\ge0}$ , 我们定义函数 $F(t)=\sum_{m=0}^\infty a_mr_m(t)$ , 这是逐点定义的. 由于 $l^2\subset l^1$ , 我们知道对每个 $t$ , 这个级数都是绝对收敛的.

引理4. 设 $1<p<\infty$ , 则
$\|F\|_{L^p[0,1]}\sim_p\|F\|_{L^2[0,1]}=\|a\|_{l^2}$
证明. 当 $1 < p\le2$ 时由Hölder不等式有 $\|F\|_{L^p[0,1]}\le\|F\|_{L^2[0,1]}$ . 同理, $2\le p<\infty$ 时 $\|F\|_{L^2[0,1]}\le\|F\|_{L^p[0,1]}$ .
我们暂时先来计算 $\|F\|_{L^2[0,1]}$ .
$\|F\|_2^2=\int_0^1\left(\sum_{m=0}^\infty a_mr_m(t)\right)^{2}dt$
$\overset{\text{控制收敛定理}}{=}\sum_{m,m'=0}^\infty\int_0^1a_mr_m(t)a_{m'}r_{m'}(t)dt$
由推论3知只有那些 $m=m'$ 的项不为零, 故
$\|F\|_2^2=\sum_{m=0}^\infty a_m^2$
现在我们对 $k\ge1$ 计算 $\|F\|_{2k}$ .
$\|F\|_{2k}^{2k}=\int_0^1\left(\sum_{m=0}^\infty a_mr_m(t)\right)^{2k}dt$
$=\sum_{m_1,\cdots,m_{2k}=0}^\infty\int_0^1a_{m_1}r_{m_1}(t)\cdots a_{m_{2k}}r_{m_{2k}}(t)dt$
利用推论3, 乘法计数原理以及不全相异全排列, 得到上式
$\le\frac{(2k)!}{(2!)^k}\sum_{m_1,\cdots,m_{k}=0}^\infty a_{m_1}^2\cdots a_{m_k}^2=C_k\|a\|_{l^2}^{2k}=C_k\|F\|_2^{2k}$
这告诉我们 $\|F\|_{2k}\le C_k\|F\|_2$ . 对任何 $p>2$ , 存在一个 $k$ 使得 $p<2k$ , 譬如说可以取 $k=\left[ p/2\right]+1$ . 由插值定理, $\|F\|_p\le\|F\|_2^\theta\|F\|_{2k}^{1-\theta}=C_k^{1-\theta}\|F\|_2\lesssim_p\|F\|_2$ . 最后当 $1 < p<2$ 时, 由插值定理, $\|F\|_2\le\|F\|_p^\theta\|F\|_4^{1-\theta}\lesssim\|F\|_p^\theta\|F\|_2^{1-\theta}$ , 故 $\|F\|_2^\theta\lesssim\|F\|_p^\theta\Rightarrow\|F\|_2\lesssim\|F\|_p$ .
$\blacksquare$

除了Rademacher函数, 我们还需要一个Mikhlin-Hörmander乘子定理.

定理5(Mikhlin-Hörmander乘子定理). 设 $1<p<\infty$ , 再设 $k>d/2+1$ 是一个整数. 如果 $m\in C^k(\mathbb{R}^d\setminus\{0\})$ 满足一些有界性条件, 具体来说, 如果存在 $B>0$ 使得
$\|m\|_{\infty}\le B$
$|\partial^\alpha m(\xi)|\le B|\xi|^{-|\alpha|}\ \ \ \forall \alpha\ \text{s.t.}|\alpha|\le k$
那么 $m$ 是一个 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 乘子, 即由 $m$ 定义的算子
$Tf=(m\widehat{f})^\vee$
是 $L^p$ 有界的, 并且
$\|T\|_{L^p\rightarrow L^p}\lesssim_{d,p} B$

下面是我们遇到的主要结果.

定理6(Littlewood-Paley定理). 当 $1<p<\infty$ 时, 对任何 $f\in L^p$ , 有 $Sf\in L^p$ , 并且 $\|Sf\|_p\approx_{d,p,\psi}\|f\|_p$ .
证明. 我们首先证明 $\|Sf\|_p\lesssim_{d,p,\psi }\|f\|_p$ .
利用引理4, 我们有
$Sf(x)=\left(\sum_{m=-\infty}^\infty|P_mf(x)|^2\right)^{1/2}$
$\overset{Minkowski}{\le}\left(\sum_{m=0}^\infty|P_mf(x)|^2\right)^{1/2}+\left(\sum_{m=0}^\infty|P_{-m}f(x)|^2\right)^{1/2}$
$\overset{\text{引理4}}{\lesssim_p}\left\|\sum_{m=0}^\infty P_mf(x)r_m(t)\right\|_{L_t^p([0,1])}+\left\|\sum_{m=0}^\infty P_{-m}f(x)r_m(t)\right\|_{L_t^p([0,1])}$
在这个不等式两边取 $p$ 次幂, 利用初等不等式 $(a+b)^p\le 2^p(a^p+b^p)$ , 然后对 $x$ 积分再开 $p$ 次方, 再利用 $(a+b)^{1/p}\le2^{1/p}(a^{1/p}+b^{1/p})$ 就得到
$\|Sf(x)\|_{L_x^p(\mathbb{R}^d)}\lesssim_p\left\|\sum_{m=0}^\infty P_mf(x)r_m(t)\right\|_{L_{t,x}^p([0,1]\times\mathbb{R}^d)}+\left\|\sum_{m=0}^\infty P_{-m}f(x)r_m(t)\right\|_{L_{t,x}^p([0,1]\times\mathbb{R}^d)}$
$\overset{\text{Hölder}}{\le}\left\|\sum_{m=0}^\infty P_mf(x)r_m(t)\right\|_{L_t^\infty(0,1;L_x^p(\mathbb{R}^d))}+\left\|\sum_{m=0}^\infty P_{-m}f(x)r_m(t)\right\|_{L_t^\infty(0,1;L_x^p(\mathbb{R}^d))}$
为了控制这两项, 我们定义两个算子 $T_t,T_t'$ :
$T_tf(x)=\sum_{m=0}^\infty P_mf(x)r_m(t)$
$T_t'f(x)=\sum_{m=0}^\infty P_{-m}f(x)r_m(t)$
我们只要能够说明 $\|T_t\|_{L^p\rightarrow L^p},\|T_t'\|_{L^p\rightarrow L^p}\le C$ , 并且这里 $C$ 不依赖于 $t$ , 就立即得到 $\|Sf\|_p\le2C\|f\|_p$ .
考察 $T_t,T_t'$ 所对应的乘子:
$m_t(\xi)=\sum_{m=0}^\infty\psi(2^{-m}\xi)r_m(t)$
$m_t'(\xi)=\sum_{m=0}^\infty\psi(2^m\xi)r_m(t)$
然后检查这两个乘子确实满足Mikhlin-Hörmander乘子定理的条件即可, 我们现在就来做这件事.
首先由于 $\{\psi_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$ 是 $\mathbb{R}^d\setminus\{0\}$ 局部有限的单位分解, 所以 $m_t,m_t'\in C^\infty(\mathbb{R}^d\setminus\{0\})$ , 并且
$\|m_t\|_\infty,\|m_t'\|_\infty\le3$
然后我们估计导数, 固定 $\xi\ne0$ , 设 $2^{m_0}\le|\xi|<2^{m_0+1}$ , 有
$|\partial^\alpha m_t(\xi)|=\left|\sum_{m=0}^\infty2^{-m|\alpha|}(\partial^\alpha\psi)(2^{-m}\xi)r_m(t)\right|$
$=\left|\sum_{m=m_0-1}^{m_0+1}2^{-m|\alpha|}(\partial^\alpha\psi)(2^{-m}\xi)r_m(t)\right|$
$\le(2^{-(m_0-1)|\alpha|}+2^{-m_0|\alpha|}+2^{-(m_0+1)|\alpha|})\|\partial\psi\|_\infty\lesssim_\psi|\xi|^{-|\alpha|}$
这就验证好了, $m_t'$ 的验证也是完全类似的, 所以我们利用Mikhlin-Hörmander乘子定理得到 $\|Sf\|_p\lesssim_{d,p,\psi}\|f\|_p$ .
定理的另一半我们使用对偶方法来证明. 我们现在假设 $f\in\mathscr{S}$ , 一般的 $L^p$ 函数可以用标准的稠密性论证达到.
$\|f\|_p=\sup_{g\in\mathscr{S},\|g\|_{p'}=1}\int_{\mathbb{R}^d}f(x)\overline{g(x)}dx$
$\overset{\text{Parseval}}{=}\sup_{g\in\mathscr{S},\|g\|_{p'}=1}\int_{\mathbb{R}^d}\widehat f(\xi)\overline{\widehat g(\xi)}d\xi$
$=\sup_{g\in\mathscr{S},\|g\|_{p'}=1}\int_{\mathbb{R}^d}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\psi_k(\xi)\widehat f(\xi)\overline{\widehat g(\xi)}d\xi$
注意到在 $\operatorname{supp}\psi_k$ 上 $\psi_{k-1}+\psi_k+\psi_{k+1}=1$ , 故上式
$=\sup_{g\in\mathscr{S},\|g\|_{p'}=1}\int_{\mathbb{R}^d}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\psi_k\widehat f\overline{(\psi_{k-1}+\psi_k+\psi_{k+1})\widehat g}d\xi$
$\overset{\text{记}\widetilde P_k=P_{k-1}+P_k+P_{k+1}}{=}\sup_{g\in\mathscr{S},\|g\|_{p'}=1}\int_{\mathbb{R}^d}\sum_{k\in\mathbb{Z}}P_kf\tilde P_kgdx$
$\le\sup_{g\in\mathscr{S},\|g\|_{p'}=1}\int_{\mathbb{R}^d}\left(\sum_{k\in\mathbb{Z}}|P_kf|^2\right)^{1/2}\left(\sum_{k\in\mathbb{Z}}|\tilde P_kg|^2\right)^{1/2}dx$
$\le\sup_{g\in\mathscr{S},\|g\|_{p'}=1}\|Sf\|_p\|Sg\|_{p'}$
$\lesssim_{d,p,\psi}\sup_{g\in\mathscr{S},\|g\|_{p'}=1}\|Sf\|_p\|g\|_{p'}=\|Sf\|_p$
这就完成了证明. $\blacksquare$

在定理的证明中可以看到, 我们还额外定义了一个 $\tilde P_k$ , 它对应的乘子是 $\psi_{k-1}+\psi_k+\psi_{k+1}$ . 之后我们还会经常这样做, 也就是用其他的函数 $\widetilde\psi$ 代替 $\psi$ 作为乘子, 得到其他的频率局部化算子 $\widetilde P_kf=((\delta^{2^{-k}}\widetilde\psi)\widehat f)^\vee$ . 为了搞清楚这样的替换会带来什么影响, 比如是否影响到Littlewood-Paley定理的成立, 我们现在来理一理证明过程中到底依赖了 $\psi$ 的什么性质.

在证明 $\|Sf\|_p\lesssim\|f\|_p$ 的过程中, 我们对 $\psi$ 仅有的要求是要使得 $m_t,m_t'$ 满足Mikhlin-Hörmander乘子定理的条件. 而这只需要 $\psi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 并且存在 $a<b$ 使得 $\operatorname{supp}\psi\subset\{a\le|x|\le b\}$ 就可以.

在证明 $\|f\|_p\lesssim\|Sf\|_p$ 的过程中, 我们用到了定理的前一半, 并且还要求在 $\operatorname{supp}\psi_k$ 上 $\psi_{k-1}+\psi_k+\psi_{k+1}=1$ , 这里实际上是要求 $\{\psi_k\}$ 是局部有限的单位分解, 或者存在 $\lambda>0$ 使得 $\{\lambda\psi_k\}$ 是局部有限的单位分解.

我们把这个讨论整理成注记.

注记7. (1)如果 $\widetilde\psi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 并且存在 $a<b$ 使得 $\operatorname{supp}\widetilde\psi\subset\{a\le|x|\le b\}$ , 那么相应的Littlewood-Paley平方函数 $\widetilde Sf$ 满足 $\|\widetilde Sf\|_p\lesssim\|f\|_p$ .
(2)额外地, 如果存在 $\lambda>0$ 使得 $\{\lambda\psi_k\}$ 是局部有限的单位分解, 那么 $\|f\|_p\lesssim\|\widetilde Sf\|_p$ .

我们常常会取的其他频率局部化算子以及它们对应的乘子有

$\widetilde P_k=\sum_{l=-k_0}^{k_1}P_{k+l}$ , 对应的乘子是 $\widetilde\psi=\sum_{l=-k_0}^{k_1}\psi_l$ . 这满足注记7的第一条, 也满足第二条.
$\widetilde P_k=2^{-ks}|\nabla|^sP_k$ , 对应的乘子是 $\widetilde\psi=|\xi|^s\psi$ . 这个算子满足注记7的第一条, 但不满足第二条.

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