线代--零空间的基与秩-零度化定理

作者: 倪桦 | 来源:发表于2022-07-22 14:37 被阅读0次

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零空间是对于一个矩阵 $A$ ，满足线性系统 $Ax=0$ ，所有的解 $x$ 组成的向量空间。由于矩阵 $A$ 零空间本身隐藏在矩阵 $A$ 的内部，所以它的存在相对抽象。

构造零空间的基

构造一个矩阵 $A$ 的零空间的基，本质是对求出线性系统 $Ax=0$ 的解空间进行简单变形，从而得到零空间的基。

示例说明：
存在矩阵A，通过高斯消元求取它的行最简形式:

从系数矩阵A 的行最简形式得到线性系统 $Ax=0$ 的解 $\vec x$ 的形式如下:

这个解的形式显示了组成线性系统 $Ax=0$ 的任意一个解的内部分量所存在的线性关系， $x_1$ 和 $x_2$ 这两个分量可以由其它四个分量 $x_3,x_4,x_5,x_6$ 的线性组合所表示。将所有解改写成列向量形式:

从解的列向量形式可以看到对分量 $x_3,x_4,x_5,x_6$ 取任意实数 $R$ ，就可以得到线性系统 $Ax=0$ 的所有解空间的其中一组解 $\vec x=(x_1,x_2.x_3,x_4,x_5,x_6)$ ，这个解可通过单独提出分量 $x_3,x_4,x_5,x_6$ 拆分成以下形式的线性组合进行表示:

拆分后得到的四个线性无关的向量 $\vec v_1=(1,-2,1,0,0,0)，\vec v_2=(2,-3,0,1,0,0)，\vec v_3=(3,-4,0,0,1,0)，\vec v_4=(5,-6,0,0,0,1)$ ，通过这四个向量的线性组合 $k_1 \vec v_1+k_2 \vec v_2+k_3 \vec v_3+k_4 \vec v_4$ 就可以表示出线性系统的解 $\vec x$ ，意味着线性系统的解 $\vec x$ 构成的空间就是向量 $\vec v_1， \vec v_2， \vec v_3，\vec v_4$ 的生成空间，也就是系线性系统系数矩阵 $A$ 的零空间。由空间的基的定义(给定 $n$ 维空间的一组基，则空间中的任意一个向量都可以表示成这组基的线性组合)可知，这个四个线性无关向量 $\vec v_1， \vec v_2， \vec v_3，\vec v_4$ 就是它们生成空间的基，也是线性系统系数矩阵 $A$ 的零空间的基，这个空间的维度就是 $4$ 。

综上，对于线性系统 $Ax=0$ ，把系数矩阵 $A$ 化为行最简形式之后，自由列的列数就是矩阵A的零空间的维度:

矩阵的行最简形式的一般形式

秩-零度化定理

对于一个 $m*n$ 的矩阵有，将其化为行最简形式后，主元列数为其列空间的维度，也就是矩阵的秩，同时也是矩阵行空间的维度。当求出矩阵的主元列列数 $r$ ，则矩阵的自由列列数(也就是矩阵的零空间的维度)等于 $n-r$ 。就有 $\color {#e94513} {矩阵的列空间的维度+ 零空间的维度 = n}$ 。

列空间的维度也就是矩阵的秩，零空间的维度的专业名词叫做 $零化度(Nullity)$
$\therefore 秩-零度化定理: \ \ \ 秩(rank) +零化度(Nullity) = n$

零空间的维度为0

零空间的维度等于一个矩阵的行最简形式中自由列的个数，当一矩阵全部都是主元列的时候，也就是一个 $m*n$ 的矩阵的列空间的维度为 $n$ 的时候，矩阵的零空间维度为0。对于一个方阵来说，即为满秩的时候，矩阵的零空间维度为0

理解上一章节线代--零空间中最后的疑惑
为什么对于两个平面(二维欧式空间)，它们在三维空间内不可能正交的，它们只可能在四维空间中出现正交。

首先，矩阵的零空间是与矩阵的行空间正交的一个空间，零空间内的任意向量垂直于行空间的所有向量；
对于一个 $m*n$ 的矩阵来说，行空间和零空间都是一个 $n$ 维空间的子空间；
假设矩阵的行空间是一个二维欧式空间的话，那么矩阵的零空间的维度是 $n-2$ ；
如果 $n=3$ ，就是在一个三维空间内，同时能存在一个二维子空间和一个一维子空间正交；
当 $n \ge 4$ ，就是在一个四维以上的空间内，当存在一个二维的子空间(矩阵的行空间)的前提下，能找到另一个二维子空间(矩阵的零空间)与矩阵的二维行空间正交。所以两个二维欧式空间正交只能在四维以上的空间内发生。

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