矩阵代数（七）- 维数与秩

作者: mHubery | 来源:发表于2019-03-09 18:05 被阅读0次

矩阵代数（七）- 维数与秩
Cesium球心坐标与本地坐标系经纬转换的数学原理—矩阵变换
零基础"机器学习"自学笔记|Note4:线性代数回顾
数学名词1 - 秩
【MIT】11-矩阵空间-秩1矩阵-图-网络
视频基础-YUV,RGBA
高等代数理论基础23：矩阵的秩
秋招面试题总结
Numpy-其他
【深度学习-数学基础】张量与矩阵的区别？

小结

坐标系
子空间的维数
秩与可逆矩阵定理

坐标系

选择子空间 $\boldsymbol{H}$ 的一个基代替一个存粹生成集的主要原因是， $\boldsymbol{H}$ 中的每个向量可以被表示为基向量的线性组合的唯一表示。

假设 $\boldsymbol{\beta}=\{ \boldsymbol{b_1},\cdots,\boldsymbol{b_p}\}$ 是子空间 $\boldsymbol{H}$ 的一组基，对 $\boldsymbol{H}$ 中的每一个向量 $\boldsymbol{x}$ ，相对于基 $\boldsymbol{\beta}$ 的坐标是使 $\boldsymbol{x}=c_1\boldsymbol{b_1} + \cdots + c_p\boldsymbol{b_p}$ 成立的权 $c_1,\cdots,c_p$ ，且 $\mathbb{R}^{p}$ 中的向量 $\boldsymbol{[x]_\beta}=\begin{bmatrix}c_1 \\ \vdots \\ v_p \end{bmatrix}$ 称为 $\boldsymbol{x}$ （相对于 $\boldsymbol{\beta}$ ）的坐标向量，或 $\boldsymbol{x}$ 的 $\boldsymbol{\beta}$ -坐标向量。

设 $\boldsymbol{v_1}=\begin{bmatrix}3 \\ 6 \\ 2\end{bmatrix},\boldsymbol{v_2}=\begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix},\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}3 \\ 12 \\ 7\end{bmatrix},\boldsymbol{\beta}=\{\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}\}$ 。因 $\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}$ 线性无关，故 $\boldsymbol{\beta}$ 是 $\boldsymbol{H}=Span\{\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}\}$ 的基。判断 $\boldsymbol{x}$ 是否在 $\boldsymbol{H}$ 中，如果是，求 $\boldsymbol{x}$ 相对于 $\boldsymbol{\beta}$ 的坐标向量。
解：如果 $\boldsymbol{x}$ 在 $\boldsymbol{H}$ 中，则下面的向量方程是相容的：
$\boldsymbol{c_1}\begin{bmatrix}3 \\ 6 \\ 2\end{bmatrix} + \boldsymbol{c_2}\begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 \\ 12 \\ 7\end{bmatrix}$
如果数 $c_1,c_2$ 存在，则它们是 $\boldsymbol{x}$ 的 $\boldsymbol{\beta}$ -坐标。由行变换得：
$\begin{bmatrix}3 & -1 & 3 \\ 6 & 0 & 12 \\ 2 & 1 & 7 \end{bmatrix}$ ~ $\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
于是 $c_1=2,c_2=3,\boldsymbol{[x]_\beta}=\begin{bmatrix}2 \\ 3\end{bmatrix}$ 。

平面H的一个坐标系.png

注意到虽然 $\boldsymbol{H}$ 中的点也在 $\mathbb{R}^{3}$ 中，但它们完全由属于 $\mathbb{R}^{2}$ 的坐标向量确定。映射 $\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{[x]_\beta}$ 是使 $\boldsymbol{H}$ 和 $\mathbb{R}^{2}$ 之间保持线性组合关系的一一映射。我们称这种映射是同构的，且 $\boldsymbol{H}$ 与 $\mathbb{R}^{2}$ 同构。
一般地，如果 $\boldsymbol{\beta}=\{ \boldsymbol{b_1}, \cdots, \boldsymbol{b_p}\}$ 是 $\boldsymbol{H}$ 的基，则映射 $\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{[x]_\beta}$ 是使 $\boldsymbol{H}$ 和 $\mathbb{R}^{p}$ 的形态一样的一一映射（尽管 $\boldsymbol{H}$ 中的向量可能有多余 $p$ 个元素）。

子空间的维数

非零子空间 $\boldsymbol{H}$ 的维数（用 $dim \;\boldsymbol{H}$ ）是 $\boldsymbol{H}$ 的任意一个基的向量个数。零子空间 $\{ \boldsymbol{0} \}$ 的维数定义为零。
$\mathbb{R}^{n}$ 空间维数为 $n$ ， $\mathbb{R}^{n}$ 的每个基由 $n$ 个向量组合。 $\mathbb{R}^{3}$ 中一个经过 $\boldsymbol{0}$ 的平面是二维的，一条经过 $\boldsymbol{0}$ 的直线是一维的。

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩（记为 $rank \;\boldsymbol{A}$ ）是 $\boldsymbol{A}$ 的列空间的维数。

确定矩阵的秩：
$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 4 & 7 & -4 & -3 & 9 \\ 6 & 9 & -5 & 2 & 4 \\ 0 & -9 & 6 & 5 & -6 \end{bmatrix}$
解：行化简 $\boldsymbol{A}$ 称阶梯形：
$\begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 4 & 7 & -4 & -3 & 9 \\ 6 & 9 & -5 & 2 & 4 \\ 0 & -9 & 6 & 5 & -6 \end{bmatrix}$ ～ $\begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 0 & -3 & 2 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有3个主元列，因此 $rank \;\boldsymbol{A}=3$

定理 14（秩定理）
如果一矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 列，则 $rank \;\boldsymbol{A} + dim \;Nul \;\boldsymbol{A}=n$

定理 15（基定理）
设 $\boldsymbol{H}$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 的 $p$ 维子空间， $\boldsymbol{H}$ 中的任何恰好由 $p$ 个元素组成的线性无关集构成 $\boldsymbol{H}$ 的一个基。并且， $\boldsymbol{H}$ 中任何生成 $\boldsymbol{H}$ 的 $p$ 个向量集也构成 $\boldsymbol{H}$ 的一个基。

秩与可逆矩阵定理

定理（可逆矩阵定理（续））
设 $\boldsymbol{A}$ 是一 $n \times n$ 矩阵，则下面的每个命题与 $\boldsymbol{A}$ 是可逆矩阵的命题等价：
$\begin{aligned} & m. \;\boldsymbol{A}的列向量构成\mathbb{R}^{n}的一个基 \\ & n.\;Col \;\boldsymbol{A}=\mathbb{R}^{n} & &o.\;dim \;Col\;\boldsymbol{A}=n \\ & p.\;rank \;\boldsymbol{A}=n && q.\;Nul\;\boldsymbol{A}=\{\boldsymbol{0}\} \\ &r.\;dim \;Nul \;\boldsymbol{A} = 0\end{aligned}$

矩阵代数（七）- 维数与秩
小结坐标系子空间的维数秩与可逆矩阵定理坐标系选择子空间的一个基代替一个存粹生成集的主要原因是，中的每个向...
Cesium球心坐标与本地坐标系经纬转换的数学原理—矩阵变换
之前整理过：《透析矩阵，由浅入深娓娓道来—高数-线性代数-矩阵》、《三维旋转笔记:欧拉角/四元数/旋转矩阵/轴角-...
零基础"机器学习"自学笔记|Note4:线性代数回顾
4.线性代数回顾 4.1矩阵和向量如图：这个是4×2矩阵，即4行2列。矩阵的维数即行数×列数。向量是一种特殊的...
数学名词1 - 秩
乐乐老师/文高等代数中出现过三个“秩”，其一为矩阵的秩，其二为向量组的秩，其三为线性变换的秩。三个“秩”有相当密...
【MIT】11-矩阵空间-秩1矩阵-图-网络
内容第11讲的主要内容是延续第10课的矩阵空间，讲到矩阵空间的基和维数；在这之后涉及了秩1矩阵和图（节点和线组成...
视频基础-YUV,RGBA
矩阵在先讲颜色编码之前，先回顾一下高数中的矩阵的基本知识《线性代数》：什么是矩阵矩阵是指纵横排列的二维数据表...
高等代数理论基础23：矩阵的秩
矩阵的秩矩阵的秩定义：矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩,矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩引理：若齐次线性方程...
秋招面试题总结
如何理解矩阵的秩？（我们是求矩阵的秩，不是图像的秩）秩是图像经过矩阵变换之后的空间维度秩是列空间的维度矩阵低秩...
Numpy-其他
axis理解 NumPy数组的维数称为轴（axes），轴的个数叫秩（rank），一维数组的秩为1，二维数组的秩为2...
【深度学习-数学基础】张量与矩阵的区别？
张量与矩阵的区别？ 1 、从数学代数角度讲，矩阵是向量的推广。向量可以看成一维的“表格” （即分量按照顺序排成一...