损失函数与正则化惩罚

一、损失函数

也叫代价函数，是同一个东西。是用来评估模型的预测值f(x)与真实值Y的差距，它是一个非负实值函数。

常用的损失函数有：

1.0-1损失函数(0-1 loss function)

  当预测错误时，损失函数值为1，预测正确时，损失函数值为0。该损失函数不考虑预测值和真实值的误差程度，也就是只要预测错误，预测错误差一点和差很多是一样的。

2.平方损失函数(quadratic loss function)

  该损失函数的意义也很简单，就是取预测差距的平方。

3.绝对值损失函数(absolute loss function)

  该损失函数的意义和上面差不多，只不过是取了绝对值而不是求绝对值，差距不会被平方放大。

4.对数损失函数(logarithmic loss function)

  这个损失函数就比较难理解了。事实上，该损失函数用到了极大似然估计的思想。P(Y|X)通俗的解释就是：在当前模型的基础上，对于样本X，其预测值为Y，也就是预测正确的概率。由于概率之间的同时满足需要使用乘法，为了将其转化为加法，我们将其取对数。最后由于是损失函数，所以预测正确的概率越高，其损失值应该是越小，因此再加个负号取个反。

全局损失函数

  上面的损失函数仅仅是对于一个样本来说的。而我们的优化目标函数应当是使全局损失函数最小。因此，全局损失函数往往是每个样本的损失函数之和，即：

  对于平方损失函数，为了求导方便，我们可以在前面乘上一个1/2，和平方项求导后的2抵消，即：

逻辑回归中的损失函数

在逻辑回归中，我们采用的是对数损失函数。由于逻辑回归是服从伯努利分布(0-1分布)的，并且逻辑回归返回的sigmoid值是处于(0,1)区间，不会取到0,1两个端点。因此我们能够将其损失函数写成以下形式：

二、正则化

描述一件物品时，描述的内容越丰富详实则约束越多，识别的泛化性就差，代表的事物就少。在训练数据不够多时，或者过度训练模型时，常常会导致过拟合。正则化方法即为在此时向原始模型引入额外信息，以便防止过拟合和提高模型泛化性能的一类方法的统称，这就引入了正则化惩罚项。

在机器学习里叫正则化，线性代数叫范数，统计学里叫惩罚项。

机器学习里：L1使用的是绝对值距离，也叫曼哈顿距离，L2使用的是平方距离，也叫做欧式（Euclidean）距离。

线性代数：L1 范数计算的是向量所有元素绝对值的和，L2 范数计算的是通常意义上的向量长度 。