数据预处理中归一化（Normalization）与损失函数中正则化（Regularization）解惑
背景：数据挖掘/机器学习中的术语较多，而且我的知识有限。之前一直疑惑正则这个概念。所以写了篇博文梳理下
摘要：
1.正则化（Regularization）
1.1 正则化的目的
1.2 结构风险最小化（SRM）理论
1.3 L1范数（lasso），L2范数（ridge），ElasticNet
1.4为什么说L1是稀疏的，L2是平滑的？
2.归一化 （Normalization）
2.1归一化的目的
2.1归一化计算方法
2.2.spark ml中的归一化
2.3 python中skelearn中的归一化
知识总结：
1.正则化（Regularization）
1.1 正则化的目的：我的理解就是平衡训练误差与模型复杂度的一种方式，通过加入正则项来避免过拟合（over-fitting）。（可以引入拟合时候的龙格现象，然后引入正则化及正则化的选取，待添加）
1.2 结构风险最小化（SRM）理论:
经验风险最小化 + 正则化项 = 结构风险最小化
经验风险最小化（ERM），是为了让拟合的误差足够小，即：对训练数据的预测误差很小。但是，我们学习得到的模型，当然是希望对未知数据有很好的预测能力（泛化能力），这样才更有意义。当拟合的误差足够小的时候，可能是模型参数较多，模型比较复杂，此时模型的泛化能力一般。于是，我们增加一个正则化项，它是一个正的常数乘以模型复杂度的函数，aJ(f)，a>=0 用于调整ERM与模型复杂度的关系。结构风险最小化（SRM），相当于是要求拟合的误差足够小，同时模型不要太复杂（正则化项的极小化），这样得到的模型具有较强的泛化能力。
下面是来自一篇博文的例子
优化如下定义的加了正则项（也叫惩罚项）的损失函数：
后面的
就是正则化项，其中λ越大表明惩罚粒度越大，等于0表示不做惩罚，N表示所有样本的数量，n表示参数的个数。
如果绘图表示就是这样：
上图的 lambda = 0表示未做正则化，模型过于复杂（存在过拟合）
上图的 lambda = 1 添加了正则项，模型复杂度降低
1.3 正则化的L1，L2范数
L1正则化(lasso)：
，其中C0是代价函数，
是L1正则项，lambda是正则化参数
L2正则化(ridge)：（待添加：权值衰减引入）
，其中
是L2正则项，lambda是正则化参数
ElasticNet 正则化:
L1与L2以及ElasticNet 正则化的比较：
1.L1会趋向于产生少量的特征，而其他的特征都是0，而L2会选择更多的特征，这些特征都会接近于0。
2.Lasso在特征选择时候非常有用，而Ridge就只是一种规则化而已。
3.ElasticNet 吸收了两者的优点，当有多个相关的特征时，Lasso 会随机挑选他们其中的一个，而ElasticNet则会选择两个；并且ElasticNet 继承 Ridge 的稳定性.
总结：结构风险最小化是一种模型选择的策略，通过加入正则项以平衡模型复杂度和经验误差；更直观的解释——正则项就是模型参数向量（w）的范数，一般有L1，L2两种常用的范数。
1.4为什么说L1是稀疏的，L2是平滑的？
L1 Regularizer
L1 Regularizer是用w的一范数来算，该形式是凸函数，但不是处处可微分的，所以它的最佳化问题会相对难解一些。
L1 Regularizer的最佳解常常出现在顶点上（顶点上的w只有很少的元素是非零的，所以也被称为稀疏解sparse solution），这样在计算过程中会比较快。
L2 Regularizer
L2 Regularizer是凸函数，平滑可微分，所以其最佳化问题是好求解的。
参考链接：常见的距离算法和相似度（相关系数）计算方法中的Lp球
2.归一化 （Normalization）
2.1归一化的目的：
1）归一化后加快了梯度下降求最优解的速度；
2）归一化有可能提高精度。详解可查看
2.2归一化计算方法
公式：
对于大于1的整数p, Lp norm = sum(|vector|^p)(1/p)
2.3.spark ml中的归一化
构造方法：
http://spark.apache.org/docs/2.0.0/api/scala/index.html#org.apache.spark.mllib.feature.Normalizer
newNormalizer(p:Double) ,其中p就是计算公式中的向量绝对值的幂指数
可以使用transform方法对Vector类型或者RDD[Vector]类型的数据进行正则化
下面举一个简单的例子：
scala> import org.apache.spark.mllib.linalg.{Vector, Vectors}
scala> val dv: Vector = Vectors.dense(3.0,4.0)
dv: org.apache.spark.mllib.linalg.Vector = [3.0,4.0]
scala> val l2 = new Normalizer(2)
scala> l2.transform(dv)
res8: org.apache.spark.mllib.linalg.Vector = [0.6,0.8]
或者直接使用Vertors的norm方法：val norms = data.map(Vectors.norm(_, 2.0))
2.4 python中skelearn中的归一化
from sklearn.preprocessing import Normalizer
#归一化，返回值为归一化后的数据
Normalizer().fit_transform(iris.data)
https://www.cnblogs.com/arachis/p/Regulazation.html?utm_source=itdadao&utm_medium=referral
期望风险或期望损失：是真实的，需要x,y的联合概率分布相乘
经验风险或经验损失：机器学习问题不可能已知x,y的联合概率分布，如果已知的话，那么x得出y就很容易了。那么根据大数定理可以使用1/n*损失函数来代替期望风险，得出经验风险。
结构风险最小化：是带正则项的经验风险最小化。
经验风险最小化容易带来模型复杂度过高，过拟合问题
正则化：
是结构风险最小化策略的实现。正则化项一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，正则化值就越大
范数：
0范数表示的是向量中非0元素的个数
1范数表示的是向量中元素的绝对值的和
2范数表示的是向量中元素的模的和
模型的稀疏化得优点：是可以实现自动特征选择和优秀的特征可解释性。
想要模型稀疏，最好的方法是使用正则化0范数。但是0范数是不好求w的最优化解得。并且l1是l0的最优凸近似。如果w在0点处不可微（l1就不可微)，且可以分解为一个求和的形式，那么这个规则化算子就可以实现稀疏.
l2范数会使模型的参数很小，但是不能为0。l2相比L1具有更平滑的特性。当遇到两个对预测有帮助的特征时，L1倾向于选择一个更大的特征。而L2更倾向把两者结合起来。
交叉验证：
1、简单验证，70%训练集，30%测试集。使用此方法不断的选择模型和参数，比较测试集的准确率。
2、kfold，将数据集切分成k份，随机选择k-1做训练集，1做测试集。最后选出S次评测中平均测试误差最小的模型。
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