高中奥数 2022-03-20

作者: 不为竞赛学奥数 | 来源:发表于2022-03-20 07:11 被阅读0次

高中奥数 2022-03-20
奥数！奥数！
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反证法是我们论证数学命题时常用的有力工具.有些问题从正面很难下手,就应试着用反证法来考虑,因为当我们从正面去看问题而发现条件不多时,反证假设就相当于又加了一个条件,这样自然更易入手.

反证法有着广泛的应用,这一章我们就来看一下它在不等式证明中的应用.

2022-03-20-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P058 例01）

证明

用反证法,假设三个不等式都成立,那么
$\begin{cases} x^{2}<\left(y-z\right)^{2},\\ y^{2}<\left(z-x\right)^{2},\\ z^{2}<\left(x-y\right)^{2} \end{cases}$
则有 $\begin{cases} \left(x-y+z\right)\left(x+y-z\right)<0,\\ \left(y-z+x\right)\left(y+z-x\right)<0,\\ \left(z-x+y\right)\left(z+x-y\right)<0.\end{cases}.$ ,

上面三个不等式相乘即得
$\left(x+y-z\right)^{2}\left(y+z-x\right)^{2}\left(z+x-y\right)^{2}<0.$
矛盾!

2022-03-20-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P058 例02）

若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 为非负整数,且 $\left(a+b\right)^{2}+3a+2b=\left(c+d\right)^{2}+3c+2d$ .求证: $a=c$ , $b=d$ .

证明

先证明 $a+b=c+d$ .用反证法.

若 $a+b\ne c+d$ ,不妨设 $a+b>c+d$ ,则 $a+b\geqslant c+d-1$ .故
$\begin{aligned} \left(a+b\right)^{2}+3a+2b&=\left(a+b\right)^{2}+2\left(a+b\right)+a\\ &\geqslant \left(c+d+1\right)^{2}+2\left(c+d-1\right)+a\\ &=\left(c+d\right)^{2}+4\left(c+d\right)+3+a\\ &>\left(c-d\right)^{2}+3c+2d. \end{aligned}$

矛盾!所以 $a+b=c+d$ ,代入原式即得 $a=c$ ,进而有 $b=d$ .

说明对于整数 $x$ 、 $y$ ,若 $x>y$ ,则 $x\geqslant y+1$ .这一性质在处理与整数有关的不等式时很有用.

2022-03-20-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P059 例03）

已知12个实数 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{12}$ 满足
$\begin{cases} &a_{2}\left(a_{1}-a_{2}+a_{3}\right)<0,\\ &a_{3}\left(a_{2}-a_{3}+a_{4}\right)<0,\\ &\cdots\cdots\\ &a_{11}\left(a_{10}-a_{11}+a_{12}\right)<0. \end{cases}$
求证:从这些数中至少可找到3个正数和3个负数.

证明

用反证法,不妨设 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{12}$ 中至多有两个负数,则存在 $1\leqslant k\leqslant 9$ 使 $a_{k}$ 、 $a_{k+1}$ 、 $a_{k+2}$ 、 $a_{k+3}$ 都是非负实数.

由题设可得
$$ $又因为$a_{k+1}\geqslant 0$,$a_{k+2}\geqslant 0$,则$a_{k+1}>0$,$a_{k+2}>0$,且$ \begin{cases}
&a_{k}-a_{k+1}+a_{k+2}<0,\
&a_{k+}-a_{k+2}+a_{k+3}<0.
\end{cases}$$
两式相加得 $a_{k}+a_{k+3}<0$ ,此式与 $a_{k}\geqslant 0$ , $a_{k+3}\geqslant 0$ 矛盾!

所以 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{12}$ 中至少有3个正数和3个负数.

2022-03-20-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷不等式的解题方法与技巧苏勇熊斌证明不等式的基本方法 P059 例04）

已知正整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 、 $n$ 满足: $n^{2}<a<b<c<d<\left(n+1\right)^{2}$ ,求证: $ad\ne bc$ .

证明

用反证法.

若 $\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$ ,令 $\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}=\dfrac{p}{q}$ ,其中 $p$ 、 $q$ 是两个互素的正整数.

因为 $\dfrac{p}{q}>1$ ,有 $p\geqslant q+1$ ,则
$\dfrac{p}{q} \geqslant 1+\dfrac{1}{q}.\qquad(*)$
又由 $b=\dfrac{ap}{q}$ 得出 $q\mid ap$ ,故 $q\mid a$ ,同理有 $q\mid c$ .于是 $q\mid c-a$ ,所以 $c-a\geqslant q$ , $c\geqslant a+q$ ,因此
$\dfrac{p}{q}=\dfrac{d}{c}\leqslant \dfrac{d}{a+q}<\dfrac{\left(n+1\right)^{2}}{n^{2}+q}.\qquad(**)$
由 $(*)(**)$ 可知 $\dfrac{\left(n+1\right)^{2}}{n^{2}+q}>1+\dfrac{1}{q}$ ,即 $2n>q+\dfrac{n^{2}}{q}$ .矛盾!故 $ad\ne bc$ .