用裂项相消法解数列求和问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-12-26 11:24 被阅读0次

裂项相消法解数列求和问题

方法三裂项相消法

解题步骤：

第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；

第二步巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式；

第三步消项求和：即把握消项的规律，准确求和.

【例】已知数列 $\{a_n\}$ : $\dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}$ , $\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}$ ,…, $\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{10}+\dfrac{3}{10}+…+\dfrac{9}{10}$ ,…,
若 $b_n=\dfrac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}$ ，那么数列 $\{b_n\}$ 的前项和 $S_n$ 为（）

A． $\dfrac{n}{n+1}$ B． $\dfrac{4n}{n+1}$ C. $\dfrac{3n}{n+1}$ D． $\dfrac{5n}{n+1}$

【解析】

由题意得，数列的通项
$a_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{2}{n+1}+\dfrac{3}{n+1}+…+\dfrac{n}{n+1}$
$=\dfrac{1+2+3+…+n}{n+1}$
$=\dfrac{n}{2}$

所以 $b_n=\dfrac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}=\dfrac{4}{n(n+1)}=4\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)$

所以数列 $\{b_n\}$ 的前项和 $S_n$ 为

$S_n=4\left[\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)+…++\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)\right]$

$=4\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)$
$=\dfrac{4n}{n+1}$

故选B.

【总结】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等差数列的前 $n$ 项和公式、数列的裂项求和的方法的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据等差数列的求和公式得到 $a_n=\dfrac{n}{2}$ ，进而得到 $b_n$ 的通项公式是解答的关键.

网友评论

本文标题：用裂项相消法解数列求和问题

本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/ywzwnktx.html

延伸阅读

深度阅读

您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

用裂项相消法解数列求和问题

方法三裂项相消法

相关文章

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读

用裂项相消法解数列求和问题

方法三 裂项相消法

相关文章

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读

方法三裂项相消法