勾股方程的解

勾股数

满足不定方程 叫做勾股数

找出所有这种整数。
首先我们先不考虑负数，因为任何满足 的组，换成也可以，所以考虑正数自然就可以推演出负数组
另外一点，假设没有超过1的公因子，否则的话，将这个公因子提出可以简化方程，
这种不可以约的叫做最简的勾股数。

找到所有最简的勾股数，就可以推演出所有的勾股数。

3,4,5是一对勾股数，5， 12, 13也是

有无穷多对这种整数，满足方程 （1）

如果 没有公约数，那么它的结构应该是两奇一偶的构成,否则如果有两个偶数，那么另一个数必然也是偶数，这就违反了我们对不可再约化的假设
假设

如果 c是偶数，那么a, b 是奇数


很明显这是一个矛盾——右边是偶数，但是左边是奇数
这说明 a, b是一个奇数，一个偶数，c是一个奇数。
令 a是奇数，b是偶数
那么方程(1)可以表示成

令 是b, c 的最大公约数
以下说明

所以一定有 ,不然的话不可能会有 ,
因为没有大于1的公因子，所以只能是

互素，否则如果有一个, d 如果是2 的话，那么 , 不可能，所以 d | b 且d | c ，和(b, c)有矛盾了，所以只有这个情况， 即 b + c, c - b 互素

互素的两个数的乘积是一个完全平方数，那么它们分别都是完全平方数，为什么？将c + b, c - b因式分解就知道，二者没有相同的素因子，但因为乘积中需要每个素因子都出现两次，那么出现两次的素因子自然就必须是同一个数的素因子，所以酸盐 c + b, c - b都是完全平方数
令
解得

令 u = 3, v = 1, c = 5, b = 4, a = 3
令 u = 5, v = 1, c = 13, b = 12, a = 5
令 u = 7, v = 3， c = 29, b = 20 , a = 21...
可以得出很多解，事实上就有无穷多组
满足特定的条件，都是奇数，因为如果都是偶数，a, b, c会有公因子2，奇偶性不同，那么c, b不是整数