高等代数理论基础21：n维向量空间

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-01-02 07:56 被阅读113次

高等代数理论基础21：n维向量空间
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n维向量空间

n维向量

定义：数域P中n个数组成的有序数组 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 称为数域P上一个n维向量, $a_i$ 称为向量的分量

注：几何上的向量可认为是n=2,3且P为实数域的特殊情形

向量相等

定义：若n维向量 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 的对应分量都相等,即 $a_i=b_i(i=1,2,\cdots,n)$ ,则称两个向量相等,记作 $\alpha=\beta$

向量加法

定义：向量 $\gamma=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)$ 称为向量 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 的和,记作 $\gamma=\alpha+\beta$

零向量与负向量

定义：分量全为零的向量 $(0,0,\cdots,0)$ 称为零向量,记作0

定义：向量 $(-a_1,-a_2,\cdots,-a_n)$ 称为向量 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 的负向量,记作 $-\alpha$

向量加法四条运算规律：

交换律： $\alpha+\beta=\beta+\alpha$

结合律： $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$

$\alpha+0=\alpha$

$\alpha+(-\alpha)=0$

向量减法

定义： $\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)$

数乘向量

定义：设k为数域P中的数,向量 $(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$ 称为向量 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 与数k的数量乘积,记作 $k\alpha$

数量乘法四条基本运算规律：

$k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$

$(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$

$k(l\alpha)=(kl)\alpha$

$1\alpha=\alpha$

另：

$0\alpha=0$

$(-1)\alpha=-\alpha$

$k0=0$

$若k\neq 0,\alpha\neq 0,则k\alpha\neq 0$

n维向量空间

定义：以数域P中的数作为分量的n维向量的全体,同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法,称为数域P上的n维向量空间

注：

1.n=3时,3维实向量空间可认为是几何空间中全体向量所成的空间

2.数域P上n维向量空间由数域P上全体n维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构

3. $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 称为行向量

$\alpha=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}$ 称为列向量

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