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高等代数理论基础21:n维向量空间

高等代数理论基础21:n维向量空间

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-01-02 07:56 被阅读113次

    n维向量空间

    n维向量

    定义:数域P中n个数组成的有序数组(a_1,a_2,\cdots,a_n)称为数域P上一个n维向量,a_i称为向量的分量

    注:几何上的向量可认为是n=2,3且P为实数域的特殊情形

    向量相等

    定义:若n维向量\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)的对应分量都相等,即a_i=b_i(i=1,2,\cdots,n),则称两个向量相等,记作\alpha=\beta

    向量加法

    定义:向量\gamma=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)称为向量\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)的和,记作\gamma=\alpha+\beta

    零向量与负向量

    定义:分量全为零的向量(0,0,\cdots,0)称为零向量,记作0

    定义:向量(-a_1,-a_2,\cdots,-a_n)称为向量\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)的负向量,记作-\alpha

    向量加法四条运算规律:

    交换律:\alpha+\beta=\beta+\alpha

    结合律:\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma

    \alpha+0=\alpha

    \alpha+(-\alpha)=0

    向量减法

    定义:\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)

    数乘向量

    定义:设k为数域P中的数,向量(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)称为向量\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)与数k的数量乘积,记作k\alpha

    数量乘法四条基本运算规律:

    k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta

    (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha

    k(l\alpha)=(kl)\alpha

    1\alpha=\alpha

    另:

    0\alpha=0

    (-1)\alpha=-\alpha

    k0=0

    若k\neq 0,\alpha\neq 0,则k\alpha\neq 0

    n维向量空间

    定义:以数域P中的数作为分量的n维向量的全体,同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法,称为数域P上的n维向量空间

    注:

    1.n=3时,3维实向量空间可认为是几何空间中全体向量所成的空间

    2.数域P上n维向量空间由数域P上全体n维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构

    3.\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)称为行向量

    \alpha=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}称为列向量

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