金融风险、VaR 和 ES
金融风险
金融风险，就是与金融市场活动有关的潜在损失。
市场风险：所有与价格变动有关的风险，例如股权风险、利率风险和汇率风险。
信用风险（违约风险）：交易对手方不履行合约而导致的风险。
操作风险：程序、人员和系统不完善导致的风险。
流动性风险：持有头寸过大导致交易不能以当前价格成交的风险，或融资风险。
金融风险常用度量工具
债券市场：久期
股票市场：贝塔系数
衍生品市场：delta
新标准：VaR，ES
……
久期、贝塔系数和 delta 多年来在各自的市场中发挥着重要的作用，但它们有一个致命的缺陷，即没有金融学知识的人很难理解它们的含义。在信息披露中，我们需要一个更直观的风险指标，普通人也能理解，如此才能形成对市场的有效监管， VaR 和 ES 应运而生。
风险价值 VaR
风险价值 VaR (Value at Risk)， 是指在一定概率水平（置信水平）下，在一定时间内（如一天，十天等），持有某种证券或投资组合可能遭受的最大损失。 从定义中，我们可以得知 VaR 有两个基本要素，一个是置信水平 c，另一个是时间段 T。 VaR 在概率统计意义上是一个特殊的分位数（Quantile）。（ * q th quantile, q = 1 - c. *） 设 L 为损失变量，L = - return。当收益 return 为负时，L 为正，则
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图二：基于概率密度函数的 VaR 定义
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图三：基于累积分布函数的 VaR 定义
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图 2 和图 3 分别给出了基于概率密度函数和累积分布函数的 VaR 定义，这里的置信水平 c = 95%。
例：银行 A 在 2017 年 10 月 2 日公布其持有的资产组合期限为 1 天，置信水平为 99% 的 VaR 为 5000 万元。 对于这则新信息，我们可以从以下三个角度进行解读：
1，左尾分位数的理解：银行 A 在 10 月 3 日内资产组合的损失大于 5000 万元的概率等于 1%。,
2，右尾分位数的理解：以 99% 的概率确信，银行 A 在 10 月 3 日内资产组合的损失不超过 5000 万元。
3，回测的理解：平均而言，银行 A 在未来 100 天内有一天的损失会超过 5000 万元。
VaR 最大的优点在于简单明了。它直接用货币单位来表示市场风险的大小，即使是没有任何专业背景的投资者或管理者，也能通过 VaR 值对当前市场风险的大小进行评价，方便信息披露，有利于市场监管。VaR 最大的的缺陷在于，不满足次可加性，它直接导致了我们在计算投资组合 VaR 时无法将风险分散效应考虑在内。此外，VaR 对损失或收益变量的尾部分布具体是什么样的一无所知。
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尾部均值 ES
又叫 条件 VaR或 预期尾部损失 ETL，是指在损失超过 VaR 的条件下，投资组合遭受的平均损失（期望值）。
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假设随机变量 L 连续，则我们可以将 ES 写成如下积分形式：
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概率密度函数图
> curve(dnorm(x), from=-3, to=3, xlab='return', ylab='p(x)',las='1', main='Definition of VaR based on the probability density function', cex.main=0.8)
> abline(v=qnorm(0.05), lty=2)
> abline(v=0, lty=1)
> text(-2, 0.2, '5%')
> arrows(0, 0.15, qnorm(0.05), 0.15, length=0.15)
> text(-0.9, 0.17, 'VaR')
image.png
累计分布函数图
> curve(pnorm(x), from=-3, to=3, xlab='return', ylab='F(x)', las='1', main='Definition of VaR based on the cumulative distribution function', cex.main=0.8)
> abline(h=0.05, lty=2)
> axis(2, at=0.05, labels='0.05', las='1', par(cex=0.6))
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Delta-normal方法计算 VaR 和 ES
Delta-normal 方法
“所有模型都是错误的，但其中一些是有用的。”模型的作用是抽象现实，我们在意的不是模型无法反映细枝末节，而是，我们应当将现实抽象到什么程度，亦即我们应当做出怎样的假设。
对于一个投资组合来说，Delta-normal 方法作出了如下假设：
正态性假设：投资组合中每种资产的收益率都服从正态分布。
线性假设：投资组合的收益率是各项资产收益率的线性组合（不存在风险的对冲）。
由以上两个假设，我们得出，投资组合的收益率也服从正态分布，我们想知道这个正态分布的分位数。 为了求出这个分位数，由概率统计知识，我们需要知道投资组合收益率分布的均值和方差（标准差），它们分别将标准正态分布的概率密度曲线进行平移和伸缩。方差和标准差所蕴含的信息量是完全相同的，但由于标准差和样本具有相同的单位，所以经济学中用标准差来表示“波动率”。 在金融中，通常假设收益率序列的均值为 0 ，因此我们只关心标准差。 事实上，就算没有“均值为 0”的假设，我们一样无需在意均值，因为我们想求的是相对 VaR 而非绝对 VaR，即我们想求的是投资组合相对于无风险资产的 VaR，均值项会和无风险收益率相抵消。
一个价值 1 元的投资组合，在 c 的置信水平下，在未来一天内的 VaR 等于σ×α，其中σ是投资组合收益率序列的标准差，α是标准正态分布的 q 分位数，q = 1 - c。
我们从两个方向对 VaR =σ×α作出拓展：投资组合价值不是 1 元， 而是W0，求未来T天的 VaR。
由于引入了时间变量，我们需要增加两个新假设：
投资组合价值在所求时间段内保持不变。
投资组合每天的收益率相互独立(无相关性)。
根据时间的平方根规则 一个价值W0元的投资组合，在 c 的置信水平下，在未来T天内的
image.png
以上就是 Delta-normal 方法的公式，因为它把 VaR 拆分成了四个参数的简单乘积，所以又叫 VaR 的参数方法。
W 0和T是我们自行确定的，α可以在标准正态分布表查到，我们唯一不知道的就是波动率
σ。
GARCH 模型
ARCH 和 GARCH 模型，这些模型都在对波动率σ建模，目的是通过历史数据预测未来的波动率。这其中隐含的假设是，过去的模式将延续到未来，没有新冲击 出现。 假设投资组合的对数收益率序列为{rt}，将rt拆分为均值项μt和随机扰动项at，即
image.png
rt服从 ARMA(p, q)过程，即
image.png
ARCH(p) 模型假设：
image.png
其中
image.png
GARCH(p, q) 模型假设：
image.png
其中
image.png
收益率序列的随机扰动项虽然无（线性）自相关，但是存在高阶（非线性）的相关性。ARCH 和 GARCH 模型刻画的都是随机扰动项的二阶相关性，如此就能解释收益率序列的一些特征，比如波动群集性。
** RiskMetrics 方法**
在简单形式中，RiskMetrics 假设随机扰动项at服从条件正态分布(给定 t - 1 时刻的历史信息)
image.png
其中
image.png
对比 GARCH 模型和 RiskMetrics 方法中的模型，可以发现，后者的 volatility equation 里滞后阶数 p 和 q 都等于1，没有常数项α0
（在计量中我们把常数项也叫做漂移项），而且α1+β1=1，我们把α1+β1=1的 GARCH 模型叫做 IGARCH 模型，因此 RiskMetrics 方法中的模型实际上是一个不含漂移项的 IGARCH(1,1)模型。
实例： 假设某投资者持有价值 100 万美元的 GOOGLE 公司股票，请利用过去 5 年（2012-09-27 到 2017-09-27）的日度交易数据预测未来一周内该头寸在 95% 的置信水平下可能遭受的最大损失和平均损失。
数据处理
> options(stringsAsFactors=F)
> da <- readLines("http://labfile.oss.aliyuncs.com/courses/954/GOOGL.csv")
> da <- unlist(strsplit(da, split=","))
> da <- matrix(da, ncol=7, byrow=T)
> colnames(da) <- da[1,]
> da <- as.data.frame(da[-1,])
> date <- as.data.frame(as.Date(da[,1]))
> expr <- da[,2:ncol(da)]
> expr <- as.data.frame(sapply(expr, as.numeric))
> da <- cbind(date, expr)
> colnames(da)[1] <- "Date"
> colnames(da)[6] <- "Adj.Cloas"
> head(da)
Date Open High Low Close Adj.Cloas Volume
1 2012-09-26 375.3003 381.0010 370.8709 377.1071 377.1071 11334400
2 2012-09-27 380.3553 381.8018 376.2012 378.6286 378.6286 7854300
3 2012-09-28 377.4525 380.0300 375.9510 377.6276 377.6276 5561400
4 2012-10-01 379.9049 382.8829 378.4835 381.2713 381.2713 6329600
5 2012-10-02 382.9830 383.3784 375.5105 378.8739 378.8739 5574800
6 2012-10-03 378.2383 382.3423 376.4765 381.6316 381.6316 4412100
> dim(da)
[1] 1258 7
可以看到，da 包含 7 个变量，1258 个样本，7 个变量依次为日期、开盘价、最高价、最低价、收盘价、调整后的收盘价和交易量。
> loss <- -diff(log(da$Adj.Cloas))*100
> head(loss)
[1] -0.4026585 0.2647271 -0.9602528 0.6307764 -0.7252448 -0.7252390
查看了 loss 变量的前 6 行。由于是日度数据，对数收益率或损失率都非常小，即使进行了百分化，也只有零点几。
一般 GARCH 模型计算 VaR 和 ES
误用模型的害处远大于不用模型。
确定均值方程（以使用 ARMA 模型为例）
平稳性检验：如果是非平稳过程，则需差分，将序列转化为平稳过程。
相关性检验：确定 ARMA 的阶数 p 和 q。
模型检验：检验均值模型是否充分，即检验残差项是否还存在序列相关。
ARCH 效应检验：检验均值方程残差项的平方是否存在序列相关。
对波动率建模（以使用 GARCH 族模型）
建立模型：确认 ARCH 效应显著后，选择合适的模型来拟合残差。
模型检验：检验波动率模型是否充分，即检验标准化残差的平方是否存在序列相关。
随机扰动项分布检验：检验我们使用的 GARCH 模型中对随机扰动项的分布的假设是否合理，即检验标准化残差是否服从特定的分布（如 GARCH 模型默认的正态分布）
所有这些步骤都可以看作是对随机扰动项的提纯。我们使用的模型（无论是 ARMA 还是 GARCH），目的都在于刻画相关性（ARMA 刻画线性相关，GARCH 刻画非线性相关）。把相关的关系剔除掉，剩下的就是一个纯粹的、服从白噪声过程的随机扰动项。而这些时间序列里的相关性，就是我们预测未来的根基。
特别注意：大多数资产的收益率序列相关性非常弱（如果收益率序列具有显著的相关性，我们就能轻易预测未来收益，进行无风险套利）。因此，我们非常简单地使用收益率序列的算数平均值代替均值方程，然后检验 ARCH 效应。
对于 GARCH 模型，还没有公认的较好的定阶方法，黄金法则是 p，q 值一般不超过 2。
> library(rugarch)
> spec1 <- ugarchspec(mean.model=list(armaOrder=c(0, 0), include.mean=T), variance.model=list(garchOrder=c(1, 1)))
> fit1 <- ugarchfit(data=loss, spec=spec1)
> forecast1 <- ugarchforecast(fit1, n.ahead=5)
spec1 中设置的参数，均值模型的 ARMA 阶数 p，q 都等于 0，包含均值项，也就是说，均值方程用简单的算数平均数代替。波动率模型设置为 GARCH（1，1）模型，可以使用 show(fit1) 命令来观察模型参数及一些统计检验的信息。 由于我们要预测未来一周的 VaR 和 ES，一周共有 5 个交易日，因此设置 n.ahead = 5。
> sigmahat <- sigma(forecast1)
> sigmahat
1973-06-11 08:00:00
T+1 1.127331
T+2 1.235485
T+3 1.311292
T+4 1.365776
T+5 1.405539
> wvarfore <- sum(sigmahat^2)
> VaR095 <- qnorm(0.95)*sqrt(wvarfore)
> ES095 <- dnorm(qnorm(0.95))*sqrt(wvarfore)/0.05
> print(cbind(VaR095, ES095))
VaR095 ES095
[1,] 4.755211 5.963227
本实验计算的是相对 VaR，因此不需要加均值项。如果计算绝对 VaR，加上该序列的均值即可。 计算所得单位头寸的 VaR = 4.7552%，ES = 5.9632%，则该投资组合的 VaR 为
image.png
ES 为
image.png
也就是说，我们以 95% 的概率确信，该头寸在未来一周内可能遭受的损失不超过 47552 美元，如果不幸超过该损失，那么损失的平均水平为 59632 美元。
如果使用平方根规则，n.ahead可以设置为 1，预测未来 1 天的波动率，再乘上5，结果会有细微差别
RiskMetrics 方法计算 VaR 和 ES
RiskMetrics 方法使用的模型其实是一个不含漂移项的 IGARCH（1，1）模型
> spec2 <- ugarchspec(mean.model=list(armaOrder=c(0,0),include.mean=FALSE), variance.model=list(model='iGARCH', garchOrder=c(1,1)))
> fit2 <- ugarchfit(data=loss,spec=spec2)
> forecast2 <- ugarchforecast(fit2, n.ahead=1)
Warning message:
In `setfixed<-`(`*tmp*`, value = as.list(pars)) :
Unrecognized Parameter in Fixed Values: beta1...Ignored
> rsigmahat <- sigma(forecast2)
> rVaR095 <- qnorm(0.95)*sqrt(5)*rsigmahat
> rES095 <- dnorm(qnorm(0.95))*sqrt(5)*rsigmahat/0.05
> print(cbind(rVaR095, rES095))
1973-06-11 08:00:00 1973-06-11 08:00:00
T+1 3.828858 4.801542
计算所得单位头寸的 VaR = 3.8289%，ES = 4.8015%，则该投资组合的 VaR 为
image.png
ES 为
image.png
与使用 GARCH（1，1）模型的计算结果有差别，这说明了模型选择会对计算结果产生重要影响。
历史模拟法、蒙特卡罗模拟法计算 VaR 和 ES
历史模拟法假设随机变量在未来的分布等同于在过去的分布，而蒙特卡罗模拟法则人为设定随机变量在未来的分布类型（一种特殊的分布，如正态分布、学生 t 分布等），用历史数据估计这种分布的具体参数。
历史模拟法
在《土拨鼠之日》中，男主角作为一名记者去小镇上报导当地的土拨鼠日庆典，一场暴风雪耽误了回程，他只好在小镇过夜。第二天，他惊奇地发现自己不但被滞留在了小镇上，更可怕的是被滞留在了土拨鼠之日，昨天的一切都在重演，他被困在了同一天。 现在假设随机变量（损失变量）是男主角，它也被永久地困在了同一天。这一天在不断重演，每个“新”的一天，它都随机地取一个值。我们不知道随机变量的概率分布具体什么样，也就是说我们不知道随机变量每种取值的概率是多大，但我们可以用频率代替概率，通过很多天的取值来估计。 历史模拟法，就是假设随机变量在历史上不断重演，它的分布保持不变，我们可以通过历史取值来估计概率分布。
蒙特卡罗模拟法
电影中，楚门生活在一个人为设置的世界里，每天沿着同样的路去公司上班，与相同的人在固定的地点相遇，一成不变地进行寒暄……与《土拨鼠之日》不同，楚门面临的世界不是在一味地重复过去，而是向前发展的。我们可以从历史信息中估计一些参数（比如在某时刻会和某人相遇），推断出未来的分布。 蒙特卡罗模拟法以现在为起点，假设标准化残差服从特殊的分布，模拟出随机变量在未来的无数种取值，每种取值有一定的概率，从而形成了未来随机变量的概率分布。
实例： 假设某投资者持有价值 100 万美元的 GOOGLE 公司股票，请利用过去 5 年（2012-09-27 到 2017-09-27）的日度交易数据预测未来一周内该头寸在 95% 的置信水平下可能遭受的最大损失和平均损失。
数据处理
> options(stringsAsFactors=F)
> da <- readLines("http://labfile.oss.aliyuncs.com/courses/954/GOOGL.csv")
> da <- unlist(strsplit(da, split=","))
> da <- matrix(da, ncol=7, byrow=T)
> colnames(da) <- da[1,]
> da <- as.data.frame(da[-1,])
> date <- as.data.frame(as.Date(da[,1]))
> expr <- da[,2:ncol(da)]
> expr <- as.data.frame(sapply(expr, as.numeric))
> da <- cbind(date, expr)
> colnames(da)[1] <- "Date"
> colnames(da)[6] <- "Adj.Cloas"
> head(da)
Date Open High Low Close Adj.Cloas Volume
1 2012-09-26 375.3003 381.0010 370.8709 377.1071 377.1071 11334400
2 2012-09-27 380.3553 381.8018 376.2012 378.6286 378.6286 7854300
3 2012-09-28 377.4525 380.0300 375.9510 377.6276 377.6276 5561400
4 2012-10-01 379.9049 382.8829 378.4835 381.2713 381.2713 6329600
5 2012-10-02 382.9830 383.3784 375.5105 378.8739 378.8739 5574800
6 2012-10-03 378.2383 382.3423 376.4765 381.6316 381.6316 4412100
> dim(da)
[1] 1258 7
>
> loss <- -diff(log(da$Adj.Cloas))*100
> head(loss)
[1] -0.4026585 0.2647271 -0.9602528 0.6307764 -0.7252448 -0.7252390
历史模拟法计算 VaR 和 ES
> VaR1 <- quantile(loss, 0.95)
> VaR1
95%
2.072488
image.png
，得到多期 VaR，再乘上金额得到整个头寸的 VaR。
我们也可以放弃时间平方根规则的假设，将 5 日作为一个单位考虑，这意味着我们要用滚动窗口形成 5 日损失变量的序列，再求这个序列的分位数。
ES 是条件期望，在离散情形下，ES 是满足一定条件（大于 VaR）的损失变量的算术平均值。因此我们要把大于 VaR 的损失变量挑选出来，最直接的方法是对损失变量排序。
> sloss <- sort(loss, decreasing=F)
> head(sloss)
[1] -15.064535 -12.923968 -7.434589 -5.455236 -5.350325 -4.629771
sloss 变量是经过升序排列后的 loss 变量。 我们求最顶尖的那 5%的损失变量的均值，即为 ES。
> ES1 <- sum(sloss[length(sloss):round(0.95*length(sloss))])/(length(sloss) - round(0.95*length(sloss)))
> ES1
[1] 2.942944
计算所得单位头寸单日 ES 为2.9429%。
蒙特卡罗模拟法计算 VaR 和 ES
蒙特卡罗模拟法需要人为设定一个特殊的分布。在这里，我们假设标准化残差服从的是学生 t 分布，你也可以假设它服从正态分布或其它分布。
> library(rugarch)
> library(fGarch)
> spec3 <- ugarchspec(mean.model=list(armaOrder=c(0, 0), include.mean=T), variance.model=list(garchOrder=c(1, 1)), distribution.model='std')
> fit3 <- ugarchfit(data=loss, spec=spec3)
> show(fit3)
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(1,1)
Mean Model : ARFIMA(0,0,0)
Distribution : std
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu -0.068012 0.030475 -2.2318 0.025631
omega 0.008991 0.003801 2.3653 0.018013
alpha1 0.010173 0.002131 4.7728 0.000002
beta1 0.984053 0.000897 1096.8202 0.000000
shape 4.015649 0.465242 8.6313 0.000000
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu -0.068012 0.028073 -2.4227 0.015405
omega 0.008991 0.005080 1.7699 0.076748
alpha1 0.010173 0.002676 3.8020 0.000144
beta1 0.984053 0.000415 2373.6320 0.000000
shape 4.015649 0.537175 7.4755 0.000000
LogLikelihood : -2023.478
Information Criteria
------------------------------------
Akaike 3.2275
Bayes 3.2479
Shibata 3.2275
Hannan-Quinn 3.2352
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 1.734 0.1879
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2] 1.881 0.2833
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.468 0.5126
d.o.f=0
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.3009 0.5833
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][5] 0.5549 0.9489
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][9] 0.7447 0.9945
d.o.f=2
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[3] 0.1086 0.500 2.000 0.7417
ARCH Lag[5] 0.4886 1.440 1.667 0.8870
ARCH Lag[7] 0.5383 2.315 1.543 0.9748
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 1.6117
Individual Statistics:
mu 0.1035
omega 0.6253
alpha1 0.3738
beta1 0.5808
shape 0.3606
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 1.28 1.47 1.88
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.2949 0.76810
Negative Sign Bias 1.8162 0.06958 *
Positive Sign Bias 0.7936 0.42759
Joint Effect 3.9465 0.26730
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 12.29 0.8728
2 30 24.50 0.7037
3 40 22.65 0.9831
4 50 29.91 0.9856
Elapsed time : 0.1625979
之所以要查看模型拟合结果，是因为我们要把这些估计得到的参数用于未来的模拟。 观察结果中 Optimal Parameters 那一栏，将估计值存储在下列变量中。
> mu <- -0.068012
> alpha <- c(0.008991, 0.010173)
> beta <- 0.984053
> df <- 4.015570
> sig <- sigma(fit3)
> t <- 5
> nround <- 30000
> set.seed(42)
> err <- matrix(rstd(t*nround, mean=0, sd=1, nu=df), t, nround)
> ini <- c(loss[1257], sig[1257])
> xt <- NULL
>
> for (j in 1:nround){
+ lt <- NULL
+ at <- ini[1] - mu
+ vart <- ini[2]^2
+ for (i in 1:t){
+ var <- alpha[1] + alpha[2]*at[i]^2 + beta*vart[i]
+ vart <- c(vart, var)
+ at <- c(at, sqrt(var)*err[i, j])
+ lt <- c(lt, at[i+1] + mu)
+ }
+ xt <- c(xt, sum(lt))
+ }
> VaR2 <- quantile(xt, 0.95)
> VaR2
95%
3.469697
> idx <- c(1:nround)[xt>VaR2]
> ES2 <- mean(xt[idx])
> ES2
[1] 4.887325
计算所得单位头寸在未来一周内的 VaR 为 3.4697%，ES 为 4.8874%。
分位数回归法计算 VaR
不需要假设随机变量的分布类型，只要求分布的延续性。
线性回归是一种特殊的分位数回归。 对比线性回归和分位数回归，我们发现，它们的解释变量都是由我们选定的，区别在于被解释变量上。线性回归的被解释变量是期望值，也就是均值。而分位数回归的被解释变量是分位数。
实例： 假设某投资者持有价值 100 万美元的 GOOGLE 公司股票，请利用过去 5 年（2012-09-27 到 2017-09-27）的日度交易数据预测未来一天内该头寸在 95% 的置信水平下可能遭受的最大损失。 分位数回归的解释变量采用 Gaussian GARCH(1，1)模型下滞后一阶的波动率、滞后一阶损失变量的绝对值，判断它们的系数在α=0.05 的显著性水平下是否显著。
数据处理
> options(stringsAsFactors=F)
> dd <- readLines("http://labfile.oss.aliyuncs.com/courses/954/GOOGL-rq.csv")
> dd <- unlist(strsplit(dd, split=","))
> dd <- matrix(dd, ncol=3, byrow=T)
> colnames(dd) <- dd[1,]
> dd <- as.data.frame(dd[-1,])
> dd <- as.data.frame(sapply(dd, as.numeric))
> head(dd)
loss sigl absl
1 0.26472709 1.385217 0.4026585
2 -0.96025281 1.225897 0.2647271
3 0.63077637 1.142523 0.9602528
4 -0.72524475 1.187073 0.6307764
5 -0.72523899 1.169602 0.7252448
6 0.05210022 1.155311 0.7252390
dd 由 3 列（3 个变量）构成，它们分别是损失变量 loss，滞后一阶的波动率 sigl，滞后一阶的损失变量绝对值 absl。
分位数回归
> library(quantreg)
> mm <- rq(loss~sigl+absl, tau=0.95, data=dd)
> summary(mm)
Call: rq(formula = loss ~ sigl + absl, tau = 0.95, data = dd)
tau: [1] 0.95
Coefficients:
Value Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.00424 0.32032 3.13514 0.00176
sigl 0.49267 0.21619 2.27889 0.02284
absl 0.39962 0.15122 2.64261 0.00833
从回归结果中我们可以看到，常数项、sigl 和 absl 的系数在α=0.05 的显著性水平下都显著，因为它们的 p 值都小于 0.05。
image.png
单位头寸在未来一天内的 VaR 为 1.7322%。算式中的 1.00424，0.49267，0.39962 分别为分位数回归结果中的常数项、sigl 系数和 absl 系数估计值。1.204513 和 0.3365871 分别为当期的波动率和损失变量绝对值，它们相对于下一期（我们要估计的那一期）来说是滞后一期的解释变量。
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