引入

上图最后一行，给出了二次型的一个例子。对于二次型，存在现成的标准判断对于不同时为零的任意dx和dy，其符号 恒为正、 负，还是非正或者非负 。

因为极值的二阶条件直接依赖于d²的符号，所以了解这些判别标准很有意义。

一、型

首先我们把“型”定义为各项具有相同次数的多项式，即每一项的指数和相同的特殊情况。

型

二、二次型的全微分

二次型全微分

如此一来，主要问题变成：当允许u和v可以取任意值时，为了得到确定符号的q，应对a，b和h做何种限制。

三、正定与负定

正定与负定

四、定符号的行列式检验

广泛使用的 q 的有定符号检验，需要考察某行列式的符号。这种方法恰好可以更容易地应用于正定和负定(相对于半定而言) 。即它可以更方便地应用于二 阶充分条件(与必要条件相比较) 。因此，这里仅讨论充分条件。

对于两变量的情况，q的定符号的行列式条件是相对容易推导的。方法即配方法：

定符号 注意 矩阵 判别式 判定

我们把上面由二阶偏导数为元素构成的行列式称为“海塞行列式”。

示例

五、三变量二次型

三变量

以上可以写成矩阵乘积形式：

矩阵 主子式

通过熟悉的配方法有：

配方

由此得到正定和负定的条件：

正定和负定 示例

六、n变量二次型

n变量

此外，还可以通过特征根检验来定符号。这篇文章主要为了引入“海塞行列式”，至此目标已经完成。关于特征根方法可以看蒋中一老师的数理经济学的基本方法。

参考资料：
《数理经济学的基本方法》第四版