数论中著名的猜想

作者: 一念一觉一圣人 | 来源:发表于2019-06-04 17:14 被阅读0次

数学史上，历经数十年甚至几百年长期未能解决、费劲九牛二虎之力才解决的数学猜想特别的多，存在于数学的不同方向领域。在这些世界级的数学难题中，数论方面的问题占据多数。数论中的这些猜想，不像其他数学分支那样需要很多的背景知识，它们看上去是那么的浅显，乃至初中生甚至高年级的小学生也能读懂命题，但是千万不要被它“憨厚的外表”所蒙蔽了，要解决这些数学问题，非得有深厚的数学功底才能揭开其神秘面纱。接下来就讲述一些历史上的数论猜想。

被证明的猜想

费马大定理：古希腊数学家丢番图所著的《算术》一书中，收录了一个不定方程 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 丢番图给出了该不定方程的一组正整数解 $x=2mn\\y=m^2-n^2\\z=m^2+n^2$ 其中 $m>n$ 是任意正整数。费尔马是个“不务正业”的业余数学家，他的本职工作是一名法官，在那个年代法官几乎是无社交生活的，他的大部分精力都花费在了钻研数学和物理问题上了。在阅读《算术》的这个命题时，他搞了一个跨世纪、跨时空的恶作剧，他在旁边写了一段话：“将一个立方数分为两个立方数的和，一个四次方数分为两个四次方数的和，或者一般地将一个n次方数分为两个同次方数的和，这是不可能的。关于此，我确信已找到了一个真正奇妙的证明，可惜这儿的空白太小，写不下。”

费尔马死后，他的儿子整理了所有遗留的书稿，未能发现绝妙的证明。在此后的300多年里，大量的数学家关注到该问题，包括欧拉、狄里赫莱、拉梅、库默尔、法尔廷斯等人做出了大量有意义的工作，除了推动费尔马问题的解决之外，所创造的方法也推动了数学的发展。终于，1995年5月，数学杂志普林斯顿《数学年刊》发表了数学论文，困扰数学界350多年的费尔马问题，被英国数学家安德鲁·怀尔斯所证明。

素数个数的猜想，关于素数个数是无限的猜想，早在欧几里得之前就有人寻找答案。欧几里得在《几何原本》中设计了一个绝妙的证明。他的思路不是求任一已知的素数后面紧跟的那个素数，而是用某一个大得多的素数去替代后面的下一个素数：令p为任一素数，作出由2到p的全部素数的乘积再加1,写成 $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdots \cdots p+1=N$ 显然，素数2、3、5、···、p中没有一个可以整除N。因此，N或者本身就是素数，或者N的全部素因子都不同于2、3、5、···、p，且大于p。

还有一个关于圆周率的无理性的猜想，关于圆周率会专门写一篇文章来介绍，请大家关注。

仍未被证明的猜想

1742年6月7日，哥德巴赫写信给欧拉，发表猜想：大于5的任何自然数可写成3个素数的和。不久后欧拉回信：任一大于4的偶数，都是两个素数的和。该猜想直至19世纪结束，没有任何的进展。到20世纪初，哥德巴赫猜想被希尔伯特列到著名的23个难题之中。之后，各国的数学家尝试研究了弱型哥德巴赫猜想和因数哥德巴赫猜想问题。所谓弱型就是，把自然数写成素数之和 $N=p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{k}$ 其中k越小越好，如果对偶数证明k=2，那么哥猜就解决了。目前为止，旺格汉1976年证明，每个充分大的偶数可表示为至多6个素数的和。我国张明尧于1983年证明，所有正整数可表示为至多24个素数之和。而对于因数哥猜问题，先将偶数写成两个自然数之和 $N=n_{1}+n_{2}$ 而这两个自然数的素因数个数分别不超过a个和b个，简记为“a+b”。目前成果最好的就是陈景润1973年证明的“1+2”。

孪生素数猜想，在素数序列中常常遇到一对相邻即是奇数，又是素数的数，比如3和5,5和7,11和13等这样的数对。经过长期的积累，已经发现了很多的孪生素数对，只是发现随着数字变大，孪生素数也越来越稀疏。孪生素数猜想就是这样的素数对应该是无穷多。

墨森尼素数猜想，具有 $M_{p}=2^{p}-1$ 形式的素数，称为墨森尼素数，其中p是另外一个素数。猜想便是：墨森尼素数是否是无限个？目前发现的墨森尼素数记录一直在刷新中，只是从第13个开始，都是借助计算机发现的。

黎曼猜想：1800年高斯和勒让德提出了一个重要的猜想，即“对于大x值，小于x的素数的个数近似地等于 $\frac{x}{lg x}$ 该猜想，50年间毫无进展，直至1859年，黎曼的“论小于给定数的素数个数”的著名论文，指明了攻关策略，论文中认为素数的分布与复数函数 $S(s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\cdots\\ s=u+iv$ 的零点有关。黎曼猜想这样的零点，实部都等于二分之一。在黎曼论文的基础上，高斯-勒让德猜想于1896年被证明，称为素数定理。但黎曼猜想仍然悬而未解！

其他的一些著名猜想，比如奇完全数猜想、角谷猜想、回文数猜想等等，有兴趣的爱好者可以搜集一下相关资料。

被反例否定的猜想

费尔马猜想：由 $\begin{aligned} 2^{2^0}+1&=3\\ 2^{2^1}+1&=5\\ 2^{2^2}+1&=17\\ 2^{2^3}+1&=257\\ 2^{2^4}+1&=65537 \end{aligned}$ 都是素数，费尔马于1640年提出猜想，能写成形如 $2^{2^n}+1$ 的数都是素数，其中n为非负整数(这类数被称为费尔马数)。直到1732年，大数学家欧拉给出一个反例 $2^{2^5}+1=641\times 6700417$ 否定了猜想，这个反例看上去好像也不难给出。在这之后，又有人给出多个反例。目前人们的视线转向了一个新的猜想：只有有限个费尔马数是素数，至今还未有定论。

6n+1与6n-1型数对的猜想：迪布凡耳在1509年，注意到6n+1与6n-1的数对，提出，对于任何自然数n,6n-1和6n+1这两个数中都至少有一个是素数的猜想。只是猜想不久，便有人给出了反例，n=20时就不成立。一般地，取 $n=20+77 k(k=0,1,2, \cdots)$ 猜想均不成立。

因式系数猜想：契巴塔廖夫由因式分解 $\begin{aligned} x-1&=x-1\\ x^{2}-1&=(x-1)(x+1)\\ \cdots\\ x^{6}-1&=(x-1)(x+1)(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)\\ \cdots \end{aligned}$ 猜想，把 $x^n-1$ 分解为不可再分解的具有整系数的因式以后，各系数的绝对值都不超过1。该猜想也是由伊万诺夫给出n=105的反例，从而否定了猜想。

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