简单数学3：同态与同构的群及变换群

作者: areece | 来源:发表于2021-07-08 08:51 被阅读0次

同态映射

同态的映射就是能够保持运算的映射，即对于一个 $A$ 到 $\overline A$ 的映射 $\phi$ ， $A$ 中有运算 $\cdot$ ， $\overline A$ 中有运算 $\overline \cdot$ ，如果
$\forall a,b\ f(a\cdot b) = f(a)\overline \cdot f(b)$

同态的群

如果上面的同态映射中的 $A$ 是一个群，则 $\overline A$ 也是一个群。按照习惯，我们分别使用 $G$ 和 $\overline G$ 表示。

群几个性质

G中的单位元 $e$ 在所有同态满射的映射之下有象 $\overline e$ , 则 $\overline e$ 是 $\overline G$ 的一个单位元。
G中的元素 $a$ 有逆元 $a^{-1}$ ，则在同态映射下的像 $\overline a$ 有一个逆元 $\overline {a^{-1}}$ 。

同构的群

同构的群具有完全相同的结构，可以认为只是改了个名字。同态且映射为一一映射的群，就是同构群。

变换群

由包含恒等变换的群G，只包含一一变换
由一一变换组成的群称为变换群
全体一一变换组成一个变换群G

任何一个群都同一个变换群同构。在很多的教材里，都把每个元素 $a$ 对应到一个变换，而这个变换，就是元素 $a$ 与 $G$ 中的每个元素运算产生的变换。

置换群

一一变换称之为置换，全体置换构成的群是置换群。每一个有限群都与一个置换群同构。

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