46.伴随函子的例子：交换群，带幺交换环，环上的模

作者: Obj_Arr | 来源:发表于2021-01-09 11:06 被阅读0次

46.伴随函子的例子：交换群，带幺交换环，环上的模
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c.考虑交换群和群同态构成的交换群范畴，基础集函子 $U:Set\to Ab$ 有左伴随函子 $F:Set\to Ab$ 。

对于给定的对象X，FX就是X的基数个交换群 $(\mathbb Z,+)$ 的余积。标准映射 $X\to FX$ 将单个元素x0映到序列 $(z_x)_{x\in X}$ 使得 $z_{x_0}=1$ 其他的均为零。给定一个交换群（A，+）和一个映射 $F:X\to A$ ，所需的唯一分解就是 $g:FX\to (A,+)$ ， $g((z_x)_{x\in X})=\sum\nolimits_{x\in X}z_xf(x)$ ，只有当序列的有限多个分量非零，运算才有意义。

d.考虑带幺交换环范畴，基础集函子有左伴随函子。对于给定集合X，FX就是X基数个变量的多项式环 $\mathbb Z[x_1,...,x_n,...]$ ，变量就是X中的不同元素，标准映射将元素x映到多项式x。给定其他的环 $(A,+,X)$ 和映射 $f:X\to A$ ，所需的唯一分解 $FX\to (A,+,X)$ 就是 $g(p)=p(f(x_1),...,f(x_n),...)$ 。

到这里，其实慢慢就找出规律了，集合中的元素往往被作为完全平等的存在，作为构造一些平等结构的计数标准，这种平等的结构的计数标准，就像向量的分量个数，多项式的变元个数，群的生成元个数。从而满足了任意性的要求。

e.考虑两个带幺交换环R，S和一个环同态 $f:R\to S$ 。每个S模M可以视为一个R模，通过乘法 $r\cdot m=f(r)\cdot m$ ，左边是R标乘，右边是S标乘，这立即诱导了一个函子 $U:Mod_S\to Mod_R$ 称之为标量扩张，这个函子U同时具有左右伴随函子，左伴随函子是 $Mod_R\to Mod_S$ ， $N\mapsto S\otimes _R N$

右伴随函子是 $Mod_S\to Mod_R$ ， $N\mapsto Lin_R(S,N)$ ，映射的定义是显然的。

$S\otimes _R N$ 是S模，因为 $s(s^{\prime}\otimes n)=(ss^{\prime})\otimes n$ 。 $Lin_R(S,N)$ 上的乘法由 $(sf)(s^{\prime})=f(ss^{\prime})$ 给出。下面的同构是很有名的。

$Lin_S(S\otimes_RN,M)\cong Lin_R(N,UM)$

$Lin_S(M,Lin_R(S,N))\cong Lin_R(UM,N)$

其实，这东西大部分都没看懂，毕竟环上的模还没有去看，没有提前了解的话，也很难看明白。

就到这里了。

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