近世代数理论基础21：环的同态与同构

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-02-27 07:46 被阅读9次

近世代数理论基础21：环的同态与同构
近世代数理论基础14：同构定理
逻辑运算与集合的关系
近世代数理论基础19：环的分类
近世代数理论基础34：域的相对自同构
近世代数理论基础12：正规子群·商群·同态基本定理
近世代数理论基础26：多项式环
近世代数理论基础29：代数扩张
近世代数理论基础18：环的定义及性质
高等代数理论基础63：同构

环的同态与同构

同态映射

定义：设R和 $\overline{R}$ 是两个环, $\varphi$ 是 $R$ 到 $\overline{R}$ 的一个映射,若 $\forall a,b\in R$ ,有

1. $\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)$

2. $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$

则称 $\varphi$ 为同态映射

注：等式左边的加法和乘法是R中的运算,灯饰右边的加法和乘法是 $\overline{R}$ 中的运算

若 $R$ 到 $\overline{R}$ 的同态映射 $\varphi$ 是一个满射,则称 $\varphi$ 是 $R$ 到 $\overline{R}$ 的满同态

若 $R$ 到 $\overline{R}$ 的同态映射 $\varphi$ 是单射,则称 $\varphi$ 是 $R$ 到 $\overline{R}$ 的单同态,或称 $\varphi$ 为一个嵌入

此时称R同构嵌入到 $\overline{R}$ 中

若 $R$ 同构嵌入到 $\overline{R}$ 中,就把R看作 $\overline{R}$ 的一部分

若 $R$ 到 $\overline{R}$ 的同态映射 $\varphi$ 既是满射又是单射,则称 $\varphi$ 是 $R$ 到 $\overline{R}$ 的一个同构映射

若存在一个从 $R$ 到 $\overline{R}$ 的同构映射,则称R与 $\overline{R}$ 是同构的,记作 $R\cong \overline{R}$

可将同构的环当作同一个环

注：设 $\varphi$ 是环 $R$ 到 $\overline{R}$ 的一个同态映射,则 $\varphi$ 是加群 $(R,+)$ 到加群 $(\overline{R},+)$ 的一个同态映射

$\forall a\in R,n\in Z$ ,有 $\varphi(0_R)=0_{\overline{R}},\varphi(na)=n\varphi(a)$

又 $\varphi$ 可保持 $R$ 和 $\overline{R}$ 的乘法运算,故 $\varphi(a^n)=[\varphi(a)]^n$

例：

1.令 $\varphi:Z\to Z/nZ$ , $\varphi(n)=[n]$ ,则 $\varphi$ 是一个从整数环Z到同余类环 $Z/nZ$ 的一个满射,且 $\forall n_1,n_2\in Z$ ,有

$\varphi(n_1+n_2)=[n_1+n_2]=[n_1]+[n_2=\varphi(n_1)+\varphi(n_2)$

$\varphi(n_1n_2)=[n_1n_2]=[n_1][n_2]=\varphi(n_1)\varphi(n_2)$

故 $Z\sim Z/nZ$

2.设A是任一环, $B$ 是A的子环, $\forall x\in B$ ,令 $\varphi:B\to A,\varphi(x)=x$ ,则 $\varphi$ 是B到A的一个单同态映射

3.设 $R[x]$ 为实数域R上的多项式环, $I=(x)$ , $\forall f(x)\in R[x]$ ,由带余除法, $\exists q(x)\in R[x],a\in R$ ,使 $f(x)=q(x)x+a$ ,其中 $a$ 为 $f(x)$ 的常数项

$f(x)-a\in I$ ,故 $\overline{f(x)}=\overline{a}$

$R[x]/I=R[x]/(x)=\{\overline{a}|a\in R\}$

令 $\varphi:R\to R[x]/(x),\varphi(a)=\overline{a}$ ,则 $\varphi$ 为一个双射,且

$\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)$

$\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$

即 $\varphi$ 是R到 $R[x]/(x)$ 的同构映射, $R\cong R[x]/(x)$

定理：设 $R$ 和 $\overline{R}$ 是两个含幺环,设 $\varphi:R\to \overline{R}$ 是环同态映射,则

1.若 $\varphi$ 是满射,则 $\varphi(1_R)=1_{\overline{R}}$ ,且对R中任意可逆元u, $\varphi(u)$ 是 $\overline{R}$ 的可逆元, $\varphi(u^{-1})=[\varphi(u)]^{-1}$

2.若 $\overline{R}$ 是一个除环,且 $\varphi(1_R)\neq 0_{\overline{R}}$ ,则 $\varphi(1_R)=1_{\overline{R}}$

3.若 $\overline{R}$ 是一个整环,且 $\varphi(1_R)\neq 0_{\overline{R}}$ ,则 $\varphi(1_R)=1_{\overline{R}}$

证明：

$1.设\varphi(1_R)=\overline{s}\in \overline{R}$

$\forall \overline{r}\in \overline{R},\exists r\in R,使\varphi(r)=\overline{r}$

$\therefore \overline{r}=\varphi(r)=\varphi(1_Rr)=\varphi(1_R)\varphi(r)=\overline{s}\overline{r}$

$同理可得\overline{r}=\varphi(r)=\overline{r}\overline{s}$

$\therefore \overline{s}\overline{r}=\overline{r}\overline{s}=\overline{r}$

$\therefore \overline{s}为\overline{R}的单位元$

$即\varphi(1_R)=1_{\overline{R}}$

$设u为R中可逆元,令\varphi(u)=\overline{u},\varphi(u^{-1})=\overline{s}$

$由\varphi(1_R)=1_{\overline{R}}$

$\varphi(1_R)=\varphi(uu^{-1})=\varphi(u)\varphi(u^{-1})=\overline{u}\overline{s}=1_{\overline{R}}$

$同理,\overline{s}\overline{u}=1_{\overline{R}}$

$\therefore \overline{u}=\varphi(u)是\overline{R}中的可逆元$

$且\varphi(u^{-1})=[\varphi(u)]^{-1}$

$2.\because \varphi为同态映射$

$\therefore \varphi(1_R)=\varphi(1_R)\varphi(1_R)$

$\because \overline{R}是除环且\varphi(1_R)\neq 0_{\overline{R}}$

$\therefore 上式两边同乘[\varphi(1_R)]^{-1}可得$

$\varphi(1_R)=1_{\overline{R}}$

$易证3成立\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：设 $\varphi$ 是环R到环 $\overline{R}$ 的满同态映射,则

1.若S是R的子环,则 $\varphi(S)$ 也是 $\overline{R}$ 的子环

2.若 $I$ 是 $R$ 的理想,则 $\varphi(I)$ 也是 $\overline{R}$ 的理想

3.若 $\overline{S}$ 是 $\overline{R}$ 的子环,则 $\overline{S}$ 的逆像 $\varphi^{-1}(\overline{S})$ 也是 $R$ 的子环

4.若 $\overline{I}$ 是 $\overline{R}$ 的理想,则 $\overline{I}$ 的逆像 $\varphi^{-1}(\overline{I})$ 也是 $R$ 的理想

注：

1.定理表明环的同态满射保持子环和理想的性质不变,即子环和理想的同态仍是子环和理想,而子环和理想的原像也是子环和理想

2.满射条件在定理2和4中不可少

例：设 $\varphi:Z\to R$ 是整数环Z到实数环R的映射, $\varphi(n)=n$ ,则 $\varphi$ 是同态映射,Z是Z的理想,但 $\varphi(Z)=Z$ 不是R的理想

定理：设I是环R的理想, $\overline{R}=R/I$ 是R关于I的商环,则R与 $\overline{R}$ 同态

证明：

$作映射\pi:R\to \overline{R},\pi(a)=\overline{a}$

$其中\overline{a}=a+I$

$则\pi 显然是R到\overline{R}的一个同态映射$

$\therefore R\sim \overline{R}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：上述同态映射称为R到 $R/I$ 的自然同态(典范同态)

环同态基本定理

定理：假定R和 $\overline{R}$ 是两个环, $\varphi$ 是 $R$ 到 $\overline{R}$ 的满同态映射,则同态 $\varphi$ 的核 $I=Ker(\varphi)=\{a\in R|\varphi(a)=0\}$ 是R的理想,且 $R/I\cong \overline{R}$

证明：

$同态核Ker(\varphi)是\overline{R}中零理想(0)的原像$

$即I=Ker(\varphi)=\varphi^{-1}(0)$

$\therefore I=Ker(\varphi)是R的理想$

$下证R/I\cong \overline{R}$

$令\psi:R/I\to \overline{R},\psi(\overline{a})=\phi(a)$

$\because \overline{a}=\overline{b}\Leftrightarrow a-b\in I$

$\Leftrightarrow \varphi(a-b)=0$

$\Leftrightarrow \varphi(a)=\varphi(b)$

$\Leftrightarrow \psi(\overline{a})=\psi(\overline{b})$

$\therefore \psi的定义是良性的$

$且\psi是单射$

$显然\psi是满射$

$\therefore \psi是从R/I到\overline{R}的一个双射$

$\because \psi(\overline{a+b})=\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(a)=\psi(\overline{a})+\psi(\overline{b})$

$\psi(\overline{ab})=\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)=\psi(\overline{a})\psi(\overline{b})$

$\therefore \psi是同构映射$

$\therefore R/I\cong \overline{R}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：

1.R的任一同态像在同构的意义下都是R的一个商环

2.理想在环中的地位与正规子群在群中的地位是平行的

例：

1.设 $Z\oplus Z=\{(a,b)|a,b\in Z\}$ ,其中的加法和乘法定义为： $(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)$ , $(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2,b_1b_2)$ ,则 $Z\oplus Z$ 关于加法和乘法作成一个环

设 $\varphi:Z\oplus Z\to Z,\varphi(a,b)=b$ ,则 $\varphi$ 是一个满同态映射,同态的核 $Ker(\varphi)=\{(a,0)|a\in Z\}$

由同态基本定理, $(Z\oplus Z)/Ker(\varphi)\cong Z$

2.设 $f$ 是环R到 $\overline{R}$ 的满同态, $\overline{I}$ 是 $\overline{R}$ 的一个理想,I为 $\overline{I}$ 的原像,即 $I=f^{-1}(\overline{I})=\{a\in R|f(a)\in \overline{I}\}$ ,则 $R/I\cong \overline{R}/\overline{I}$

设 $\pi$ 为 $\overline{R}$ 到 $\overline{R}/\overline{I}$ 的自然同态,则 $R\overset{f}{\to}\overline{R}\overset{\pi}{\to}\overline{R}/\overline{I}$ ,

$\pi\circ f$ 是 $R$ 到 $\overline{R}/\overline{I}$ 的满同态,由于

$a\in Ker(\pi\circ f)\Leftrightarrow (\pi\circ f)(a)=\overline{0}+\overline{I}$

$\Leftrightarrow \pi(f(a))=\overline{f(a)}+\overline{I}=\overline{0}+\overline{I}$

$\Leftrightarrow f(a)\in \overline{I}$

$\Leftrightarrow a\in I$

即 $Ker(\pi\circ f)=I$ ,由同态基本定理, $R/I=R/Ker(\pi\circ f)\cong \overline{R}/\overline{I}$

环第一同构定理

定理：设 $I$ 和 $J$ 为环R的理想,则 $I+J$ , $I\cap J$ 也是R的理想,且 $(I+J)/J\cong I/(I\cap J)$

证明：

$由理想的定义$

$易证I+J,I\cap J都是R的理想$

$且J为I+J的理想,I\cap J为I的理想$

$\forall x\in I+J,\exists a\in I,b\in J,使得$

$x=a+b$

$定义映射f:I+J\to I/(I\cap J)$

$f(x)=a+(I\cap J)$

$若x=a+b=a_1+b_1,其中a,a_1\in I,b,b_1\in J$

$则a-a_1=b_1-b\in I\cap J$

$\therefore a\equiv a_1(mod\; I\cap J)$

$\therefore f的定义是良性的$

$下证f是满射$

$\forall a+(I\cap J)\in I/(I\cap J)$

$\forall b\in J,令x=a+b$

$则x\in I+J且f(x)=a+(I\cap J)$

$再证f是同态映射$

$\forall x,y\in I+J,\exists a_1,a_2\in I,b_1,b_2\in J$

$使x=a_1+b_1,y=a_2+b_2$

$则f(x)=a_1+(I\cap J),f(y)=a_1+(I\cap J)$

$由理想的性质$

$f(x+y)=(a_1+a_2)+(I\cap J)$

$=[a_1+(I\cap J)]+[a_2+(I\cap J)]$

$=f(x)+f(y)$

$f(xy)=(a_1a_2)+(I\cap J)$

$=[a_1+(I\cap J)][a_2+(I\cap J)]$

$=f(x)f(y)$

$\therefore f是从I+J到I/(I\cap J)的满同态$

$再证Ker(f)=J$

$\forall x\in J,有x=0+x\in I+J$

$由f的定义$

$f(x)=0+(I\cap J)$

$\therefore x\in Ker(f)$

$即J\subset Ker(f)$

$又\forall x\in Ker(f),\exists a\in I,b\in J,使得$

$x=a+b$

$由f(x)=a+(I\cap J)=0+(I\cap J)$

$a\in (I\cap J)$

$\therefore a\in J$

$\therefore x=a+b\in J$

$即Ker(f)\subset J$

$由同态基本定理$

$(I+J)/J=(I+J)/Ker(f)\cong I/(I\cap J)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

极大理想

定义：设M是环R的理想, $M\neq R$ ,若对环R的任意理想I, $M\subseteq I$ ,且 $M\neq I$ ,总有 $I=R$ ,则称M是R的极大理想

例：R为整数环,设p为素数,则 $M=(p)=pZ=\{pk|k\in Z\}$ 为极大理想

$1\notin M$ ,故 $M\neq Z$ ,又若 $I$ 是Z中的理想, $M\subseteq I且M\neq I$ ,则 $\exists a\in I,a\notin M$ ,故 $p\nmid a,(a,p)=1$ ,则 $\exists u,v\in Z$ 使 $au+pv=1$

由 $a\in I$ , $au\in I$ ,由 $p\in M\subset I$ , $pv\in I$ ,故 $1\in I$ ,因而 $Z\subset I$

显然 $I\subset Z$ ,因而I=Z,故 $M$ 为Z的极大理想

注：设p为素数, $M=(p)$ 为Z的极大理想, $Z/pZ$ 是域,这个结论可推广到一般的含幺交换环上

定理：设R是含幺交换环,则M为R的极大理想 $\Leftrightarrow$ R/M为域

证明：

$必要性$

$\because M是R的极大理想$

$\therefore M\neq R$

$\therefore 1\notin M,\overline{1}=1+M为商环R/M中的单位元$

$\therefore 商环R/M中至少由两个元$

$\overline{0}=0+M-M和\overline{1}=1+M$

$显然,R/M是交换环$

$设\overline{a}=a+M是R/M中任一非零元$

$理想I=(a)+M=\{ar+m|r\in R,m\in M\}$

$则M\subseteq I$

$\because a\notin M,a\in I$

$\therefore M\neq I$

$\because M是极大理想$

$\therefore I=R$

$\therefore \exists r_1\in R,m_1\in M,使得$

$ar_1+m_1=1$

$\therefore 在商环R/M中有\overline{a}\overline{r_1}=\overline{1}$

$即\overline{a}有逆元\overline{r_1}$

$\therefore R/M为域$

$充分性$

$设R/M为域$

$则R/M中至少含两个元$

$\overline{0}=0+M=M,\overline{1}=1+M$

$\therefore M\neq R$

$设I是环R的理想,M\subseteq I且M\neq I$

$则\exists a\in I,a\notin M$

$即\overline{a}=a+M是商环R/M中的非零元$

$\therefore \exists 逆元\overline{b}=b+M,使得$

$\overline{a}\overline{b}=\overline{1}$

$即m=ab-1\in M\subset I$

$\therefore 1=ax-m\in I$

$\therefore I=R$

$即M是R的极大理想\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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