最近断断续续地看完了一本关于悖论的专著《悖论问题的认识论研究》，虽然没有完全理解也没有完全苟同作者的观点，但是基于本书关于悖论的资料丰富并且有很多其他人的观点，所以还是很有收获的。关于悖论是什么，大多数的定义都说它是“一种导致矛盾的命题”，并且更明确地说是，“由一个被承认是真的命题为前提，设为A，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非A；反之，以非A为前提，亦可推得A。”这样简单地定义悖论还是不充分的，还有很多情形没有包含到。
上述的定义只是注重悖论最终的结果，丝毫没有触及其根源或者说成因。实际上，在上述定义中，混淆了前提、背景和引起悖论的两个命题，在很多情况下，我们之前认为正确的前提都是不正确或者是不完全正确的，也正是这种谬误导致的悖论推进了我们的认知水平。比如，第一次数学危机的根号2的发现，实际上就是当时的一个悖论，因为“万物皆数”（整数和整数比）的错误前提，导致了这样的矛盾。当然一般这样的悖论也并不是严格意义上的悖论。另外还有一点需要值得注意，即悖论的产生还有可能是描述的不完备性（这主要体现在语义悖论），这些命题往往是包含内容的描述。可以想象，如果没有描述，那么将不存在悖论，正是描述的一些畸变才导致了悖论的产生。严格意义上看，悖论只包含语义悖论和集合论悖论，而大多数研究悖论的学者认为只要解决了这两种悖论，就可以解决所有的悖论，因此对它们的研究的人十分多，也有很多不错的成果。
悖论产生的根源是脱离正常的描述规则，或者是描述规则之间的冲突，对于正常描述，它需要满足“指称规则”（不能自我指称，但可以自我指涉）和“规定规则”（在规定下的描述不能涉及规定本身甚至超越，不同的规定、前提和描述之间不能产生冲突）。
对于“自我指称”，很多哲学家都将悖论归结于“自我指称”和“否定概念”，最著名也是最早的悖论“说谎者悖论”就是这样情形的最好的代表。一句“我现在说的是假话。”，就让人摸不清此话到底当不当真。还有很多类似的悖论也是拥有这样的特点。当然这绝不是悖论产生的充分或者必要条件，古希腊人就已经找到了一个不是自我指称的悖论——“苏格拉底—柏拉图悖论”：柏拉图说：“苏格拉底下面的话都是真的。”苏格拉底说：“柏拉图上面的话是假的。”也就是说，就算脱离自我指称（此处变为互为指称，甚至可以再推广），悖论一样不会消除。自我指称和自我指涉的区别在于指示的唯一性。
关于描述规则的冲突，常见的类型是描述与作为前提的规定之间的冲突，而这种冲突产生的悖论往往像是“贝壳里的珍珠”，是推进认识的好东西。前文提到的根号2的悖论正是这样的问题。另外一个比较重要的类型是规定之间的冲突，比如点、线、面的规定就会产生像“皮亚诺曲线”可以“填充”平面，“门格尔海绵”可以覆盖体积，但是这些“悖论”，推进了我们对维度的认识，让我们发现了分数维，发现了“分形”。关于点线面，还有一点不得不说，点线面的概念实际上是人们创造出来的概念，而比之更“高级”的“体”的概念却是客观存在的，因此，从“面”到“体”的过程中，往往也会产生一些悖论。举一个简单的例子“油漆悖论”，双曲线 和轴围成的面积S是无穷大，图形绕着x旋转一周就可以得到一个“实心喇叭”旋转体。我们可以通过微积分的方法算得它的体积为
的油漆，这就导致了矛盾。另外，不同的规定之间还有黏连和混淆，比如“一堆稻谷”中的“堆”的规定和“不是堆”的规定之间就有黏连（这和秃头悖论类似），另外同一种名词的“规定”，也可以产生“悖论”，这是因为，他们描述的现象实际上又不是一件事。比如“鸡生蛋，蛋生鸡”的悖论，鸡可以有生蛋的鸡和不生蛋的鸡（当然是指古时候）。所以这些都是描述方式不同而导致的。
语形悖论也就是逻辑悖论以集合论悖论为代表，罗素悖论（当然有形象化的“理发师悖论”，但是它们并不是等价的东西，形式化的罗素悖论才是真正困扰哲学家多年的东西）就是引起“第三次数学危机”的“罪魁祸首”，而在它出现后的很大一段时间内，逻辑学家、哲学家和数学家都是极其苦恼的，而它的解决方案，罗素本人提出“分支类型论”，简单地说就是排出了“自我指称”，凡是涉及到一个集体的整体的对象，它本身不能作为该集体的成员。这就像，目录里不能将目录列入其中，否则就会“无穷尽”。罗素定义了“类”和类中“级”的概念，但是虽然这样的构造能够避免悖论的产生，但是如此严格的限制会导致很多数学体系“崩塌”，这就会有一种“因噎废食”的感觉。之后Thomson和Mackie提出的“理发师定理”也是类似的，将下列命题作为一个定理
设S是一个集合，R是一个关系，这个关系至少在S上有定义。则S中不存在这样的一个元素y,使得这个y仅仅和S中所有这样一些元素有关系，即这些元素自己同自己没有R关系。
应用这个“定理”，就排除了那个“捣乱”的理发师的存在性。“理发师定理”是一条“局限性定理”，它其实揭露了形式逻辑在封闭系统的局限性，而这点后来已经被哥德尔证明。然而，虽然这能解决了“理发师悖论”，但是对于“无穷集”的罗素悖论还是无能为力，并且这个“定理”也不能消解“说谎者悖论”。当然我们熟知的消解罗素悖论的方法是策墨罗的集合论的公理化方法，以及后来建立起来的ZF(C)集合论公理体系，但实际上，这仅仅是避免了“罗素悖论”，而非最终解决。
对于语义悖论，最早系统的研究并提供一套解悖方案的是塔尔斯基，他提出“语言层次论”，他通过语言的分层区分了语词之间所包含的不同规定，并通过加下标的方式来区分，从而避免不同规定的混淆。对于“说谎者悖论”，如果“本语句为假”在一种意义上是真，则在另一种意义上为真，反之亦然，从而消解其中的矛盾。
whzecomjm
2013-02-17-16:19:36
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