第七讲：机械能守恒定律

数学符号

滑动摩擦系数为 $\mu$

对应的代码为
$\mu$

知识点

势能
- 重力势能： $E_p=mgz$
- 弹性势能： $E_p =\cfrac{1}{2}kx^{2}$
- 万有引力势能： $E_p = -\cfrac{GMm}{r}$
保守力的功
- 直观感受：
  - 保守力做功，将使得机械能在各物体之间转移，而无增减。
  - 外力对系统做功，系统机械能增加。
  - 内部摩擦力做功，系统机械能减少。
- 保守力包括：
- 重力的功： $W=mgz_{初}-mgz_{末}$
- 弹性的功： $W=\cfrac{1}{2}kv_{初}^{2}-\cfrac{1}{2}kv_{末}^{2}$
- 万有引力的功： $W=\int_{r_{A} }^{r_{B}}-Gm_{1}m_{2}\cfrac{1}{r^{2}}dr=（-Gm_{1}m_{2}\cfrac{1}{r_{A} } ）-（-Gm_{1}m_{2}\cfrac{1}{r_{B} })$
机械能守恒定律
- 条件：外力与内部摩擦力对系统做总功为零
- 合外力为零，机械能守恒吗？请举出反例。
机械能不守恒的处理

使用积分，对目标变量进行处理

例题

例1.

如图所示。 $M$ 处于弹簧原长度处，手托着 $m$ ，使得绳子处于蹦紧状态，整个系统静止。现在松手，让 $m$ 下降 $x$ 的距离。求 $m$ 的速度 $v(x)$ 。

g4280.png

若不计摩擦力，请从功能的角度，分析能量的转移，并列出能量转移方程。
若滑动摩擦系数为 $\mu$ ，请从功能的角度，并分析能量转移方程。

解答：1，当不计摩擦力时，由机械能守恒定律可得，
$mgx=\cfrac{1}{2}kx^{2}+\cfrac{1}{2}(m+M)v^{2}$
$v_{x}=\sqrt{\cfrac{2mgx-kx^{2}}{m+M}}$
方向竖直向下
2,当滑动摩擦系数为 $mu$ 时，由机械能守恒定律可得，
$mgx=\cfrac{1}{2}kx^{2}+\cfrac{1}{2}(m+M)v^{2}+\mu mgx$
$v_{x}=\sqrt{\cfrac{2mgx-kx^{2}-\mu mgx}{m+M}}$
方向竖直向下