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基础量子物理科普（7）没错还是薛定谔方程

基础量子物理科普（7）没错还是薛定谔方程

作者: Never肥宅 | 来源:发表于2020-03-30 21:56 被阅读0次

p = (\hbar i)\frac{d}{dx}
那么定态薛定谔方程有
\frac{1}{2m}[p^2+(m\omega x)^2]\psi=E\psi
其求解的基本思想是分解哈密尔顿算符
H = \frac{1}{2m}[p^2+(m\omega x)^2]
但是由于p是算符，因此其运算顺序并不一定可以交换
解决方法是先设一个检验量
a_{pm} = \frac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}}(\mp ip+m\omega x)
那么
a_{+}a_{\_}=\frac{1}{2\hbar m \omega}[p^2+(m\omega x )^2-im\omega(xp-px)]
其中的xp-px被称为x与p的对易子，用来衡量其能否交换
一般衡量A和B的对易子表示为
[A,B]=AB-BA
那么有
a_{+}a_{\_}=\frac{1}{2\hbar m \omega}[p^2+(m\omega x)^2]-\frac{i}{2\hbar}[x,p]
使用一个测试函数f(x)，有
[x,p]f(x)=[x\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}(f)-\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}(xf)]=\frac{\hbar}{i}(x\frac{df}{dx}-x\frac{df}{dx}-f)=i\hbar f(x)
所以[x,p]=i\hbar，就是正则对易关系
利用这个关系
a_{\_}a_{+}=\frac{1}{\hbar \omega } H+\frac{1}{2}
a_{+}a_{\_}=\frac{1}{\hbar \omega } H-\frac{1}{2}
薛定谔方程可写成
\hbar \omega(a_{\pm}a_{\mp}\pm\frac{1}{ 2 } ) \psi = E\psi
我们知道
H\psi = E\psi表示\psi能满足能量为E的薛定谔方程，那么能量为(E+\hbar\omega)的薛定谔方程呢
H(a_{+}\psi)=\hbar \omega(a_{+}a_{\_}+\frac{1}{2})(a_{+}\psi)=\hbar\omega(a_{+}a_{\_}a_{+}+\frac{a_+}{2} )\psi =a_{+}[\hbar\omega(a_{+}a_{\_}+\frac{1}{2})]=a_{+}(H+\hbar\omega)\psi =a_{+}(E+\hbar\omega)\psi=(E+\hbar\omega)(a_{+}\psi)
所以a_{+}\psi满足能量为(E+\hbar\omega)的薛定谔方程H(a_{+}\psi)=(E+\hbar\omega)(a_+\psi)
同理
所以a_{\_}\psi满足能量为(E-\hbar\omega)的薛定谔方程H(a_{\_}\psi)=(E-\hbar\omega)(a_{\_}\psi)
那么也就是说，当我们得到一个解后，通过升降能量就可以得到其它的解，a_{pm}就被称作阶梯算符，用来升降能级
不过这存在一个问题就是我们的能量肯定不能低于0，因为a_{\_}\psi虽然是薛定谔方程的一个新解，但是这并不保证它是归一化的。所以存在最低的阶梯a_{\_}\psi_0=0
利用可以算出
\frac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}}(\hbar\frac{d}{dx}+m\omega x)\psi_0=0
求解微分方程得
\psi_0(x)=Ae^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}
归一化后有
\psi_0(x)=(\frac{m\omega}{\pi\hbar })^{\frac{1}{4}}e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}
可以算出E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega
谐振子的基态能量

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