基础量子物理科普（7）没错还是薛定谔方程

作者: Never肥宅 | 来源:发表于2020-03-30 21:56 被阅读0次

$p = (\hbar i)\frac{d}{dx}$
那么定态薛定谔方程有
$\frac{1}{2m}[p^2+(m\omega x)^2]\psi=E\psi$
其求解的基本思想是分解哈密尔顿算符
$H = \frac{1}{2m}[p^2+(m\omega x)^2]$
但是由于p是算符，因此其运算顺序并不一定可以交换
解决方法是先设一个检验量
$a_{pm} = \frac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}}(\mp ip+m\omega x)$
那么
$a_{+}a_{\_}=\frac{1}{2\hbar m \omega}[p^2+(m\omega x )^2-im\omega(xp-px)]$
其中的 $xp-px$ 被称为x与p的对易子，用来衡量其能否交换
一般衡量A和B的对易子表示为
$[A,B]=AB-BA$
那么有
$a_{+}a_{\_}=\frac{1}{2\hbar m \omega}[p^2+(m\omega x)^2]-\frac{i}{2\hbar}[x,p]$
使用一个测试函数f(x)，有
$[x,p]f(x)=[x\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}(f)-\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}(xf)]=\frac{\hbar}{i}(x\frac{df}{dx}-x\frac{df}{dx}-f)=i\hbar f(x)$
所以 $[x,p]=i\hbar$ ，就是正则对易关系
利用这个关系
$a_{\_}a_{+}=\frac{1}{\hbar \omega } H+\frac{1}{2}$
$a_{+}a_{\_}=\frac{1}{\hbar \omega } H-\frac{1}{2}$
薛定谔方程可写成
$\hbar \omega(a_{\pm}a_{\mp}\pm\frac{1}{ 2 } ) \psi = E\psi$
我们知道
$H\psi = E\psi$ 表示 $\psi$ 能满足能量为E的薛定谔方程，那么能量为 $(E+\hbar\omega)$ 的薛定谔方程呢
$H(a_{+}\psi)=\hbar \omega(a_{+}a_{\_}+\frac{1}{2})(a_{+}\psi)=\hbar\omega(a_{+}a_{\_}a_{+}+\frac{a_+}{2} )\psi =a_{+}[\hbar\omega(a_{+}a_{\_}+\frac{1}{2})]=a_{+}(H+\hbar\omega)\psi =a_{+}(E+\hbar\omega)\psi=(E+\hbar\omega)(a_{+}\psi)$
所以 $a_{+}\psi$ 满足能量为 $(E+\hbar\omega)$ 的薛定谔方程 $H(a_{+}\psi)=(E+\hbar\omega)(a_+\psi)$
同理
所以 $a_{\_}\psi$ 满足能量为 $(E-\hbar\omega)$ 的薛定谔方程 $H(a_{\_}\psi)=(E-\hbar\omega)(a_{\_}\psi)$
那么也就是说，当我们得到一个解后，通过升降能量就可以得到其它的解， $a_{pm}$ 就被称作阶梯算符，用来升降能级
不过这存在一个问题就是我们的能量肯定不能低于0，因为 $a_{\_}\psi$ 虽然是薛定谔方程的一个新解，但是这并不保证它是归一化的。所以存在最低的阶梯 $a_{\_}\psi_0=0$
利用可以算出
$\frac{1}{\sqrt{2\hbar m \omega}}(\hbar\frac{d}{dx}+m\omega x)\psi_0=0$
求解微分方程得
$\psi_0(x)=Ae^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}$
归一化后有
$\psi_0(x)=(\frac{m\omega}{\pi\hbar })^{\frac{1}{4}}e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}$
可以算出 $E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega$
谐振子的基态能量

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