基础量子物理科普（8）果然还是薛定谔方程解析法

作者: Never肥宅 | 来源:发表于2020-04-01 00:42 被阅读0次

又回到了亲爱的定态薛定谔方程 $-\frac{\hbar}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2 }+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi =E\psi$
引入一个无量纲的变量简化公式
$\xi = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x$
则薛定谔方程为
$\frac{d^2\psi}{d\xi^2}=(\xi^2-K)\psi$
其中 $K=\frac{2E}{\hbar\omega }$ 是以 $0.5\hbar\omega$ 为单位的能量
当 $\xi$ 非常大的时候
原方程近似为
$\frac{d^2\psi}{d\xi^2}\approx \xi^2\psi$
其近似解为
$\psi(\xi)\approx Ae^{-\xi^2/2}+Be^{\xi^2/2}$
为了使其可以归一化，B=0
$\psi(\xi) = h(\xi)e^{\xi^2/2}$
对其求导有
$\frac{d\psi}{d\xi}=（\frac{dh}{d\xi} -\xi h）e^{-\xi^2/2}$
$\frac{d^2\psi}{d\xi^2}=(\frac{d^2h}{d\xi^2 }-2\xi\frac{dh}{d\xi }+(\xi^2-1)h)e^{-\xi^2/2}$
将其代回薛定谔方程，有
$\frac{d^2h}{d\xi^2}-2\xi\frac{dh}{d\xi}+(K-1)h=0$
$h(\xi)=a_0+a_1\xi+a_2\xi^2+...=\Sigma_{j=0}^{\infty}a_j\xi^j$
$\frac{dh}{d\xi}=a_1+2a_2\xi+3a_3\xi^2+...$
$\frac{d^2h}{d\xi^2}=2a_2+2\times 3a_3\xi+......=\Sigma_{j=0}^{\infty}(j+1)(j+2)a_{j+2}\xi^j$
带入有h的薛定谔方程
$\Sigma_{j=0}^{\infty}[(j+1)(j+2)a_{j+2}-2ja_j+(K-1)a_j]\xi^j=0$
每一个幂次前的系数必须为0
因此有数列递推公式
$a_{j+2}=\frac{2j+1-K}{(j+1)(j+2)}a_{j}$
从a₀开始可以推出所有的偶系数，从a₁开始可以推出所有的奇系数
完整的解即为
$h(\xi)=h_{偶}(\xi)+h_{奇}(\xi)$
其中
$h_{偶}=a_0+a_2\xi^2+a_4\xi^4...$
$h_{奇}=a_1\xi+a_3\xi^3+a_5\xi^5...$