题目描述(中等难度)
当前层只能选择下一层相邻的两个元素走,比如第 3
层的 5
只能选择第4
层的 1
和 8
,从最上边开始,走一条路径,走到最底层最小的和是多少。
题目解析
先看一下 115 题 吧,和这道题思路方法是完全完全一样的。此外,119 题 倒着循环优化空间复杂度也可以看一下。
这道题本质上就是动态规划,再本质一些就是更新一张二维表。
115 题 已经进行了详细介绍,这里就粗略的记录了。
解法一 递归之分治
求第 0
层到第 n
层的和最小,就是第0
层的数字加上第1
层到第n
层的的最小和。
递归出口就是,第n
层到第n
层最小的和,就是该层的数字本身。
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
return minimumTotalHelper(0, 0, triangle);
}
private int minimumTotalHelper(int row, int col, List<List<Integer>> triangle) {
if (row == triangle.size()) {
return 0;
}
int min = Integer.MAX_VALUE;
List<Integer> cur = triangle.get(row);
min = Math.min(min, cur.get(col) + minimumTotalHelper(row + 1, col, triangle));
if (col + 1 < cur.size()) {
min = Math.min(min, cur.get(col + 1) + minimumTotalHelper(row + 1, col + 1, triangle));
}
return min;
}
因为函数里边调用了两次自己,所以导致进行了很多重复的搜索,所以肯定会导致超时。
优化的话,就是 Memoization
技术,把每次的结果存起来,进入递归前先判断当前解有没有求出来。我们可以用 HashMap
存,也可以用二维数组存。
用 HashMap
的话,key
存字符串 row + "@" + col
,中间之所以加一个分隔符,就是防止row = 1,col = 23
和 row = 12, col = 3
,这两种情况的混淆。
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
HashMap<String, Integer> map = new HashMap<>();
return minimumTotalHelper(0, 0, triangle, map);
}
private int minimumTotalHelper(int row, int col, List<List<Integer>> triangle, HashMap<String, Integer> map) {
if (row == triangle.size()) {
return 0;
}
String key = row + "@" + col;
if (map.containsKey(key)) {
return map.get(key);
}
int min = Integer.MAX_VALUE;
List<Integer> cur = triangle.get(row);
min = Math.min(min, cur.get(col) + minimumTotalHelper(row + 1, col, triangle, map));
if (col + 1 < cur.size()) {
min = Math.min(min, cur.get(col + 1) + minimumTotalHelper(row + 1, col + 1, triangle, map));
}
map.put(key, min);
return min;
}
动态规划
动态规划可以自顶向下,也可以自底向上, 115 题 主要写的是自底向上,这里写个自顶向下吧。
用一个数组 dp[row][col]
表示从顶部到当前位置,即第 row
行第 col
列,的最小和。
状态转移方程也很好写了。
dp[row][col] = Min(dp[row - 1][col - 1],dp[row-1][col]), triangle[row][col]
到当前位置有两种选择,选一个较小的,然后加上当前位置的数字即可。
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
int rows = triangle.size();
int cols = triangle.get(rows - 1).size();
int[][] dp = new int[rows][cols];
dp[0][0] = triangle.get(0).get(0);
for (int row = 1; row < rows; row++) {
List<Integer> curRow = triangle.get(row);
int col = 0;
dp[row][col] = dp[row - 1][col] + curRow.get(col);
col++;
for (; col < curRow.size() - 1; col++) {
dp[row][col] = Math.min(dp[row - 1][col - 1], dp[row - 1][col]) + curRow.get(col);
}
dp[row][col] = dp[row - 1][col - 1] + curRow.get(col);
}
int min = Integer.MAX_VALUE;
for (int col = 0; col < cols; col++) {
min = Math.min(min, dp[rows - 1][col]);
}
return min;
}
注意的地方就是把左边界和右边界的情况单独考虑,因为到达左边界和右边界只有一个位置可选。
接下来,注意到我们是一层一层的更新,更新当前层只需要上一层的信息,所以我们不需要二维数组,只需要一维数组就可以了。
另外,和 119 题 题一样,更新col
列的时候,会把之前col
列的信息覆盖。当更新 col + 1
列的时候,旧的 col
列的信息已经没有了,所以我们可以采取倒着更新 col
的方法。
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
int rows = triangle.size();
int cols = triangle.get(rows - 1).size();
int[] dp = new int[cols];
dp[0] = triangle.get(0).get(0);
for (int row = 1; row < rows; row++) {
List<Integer> curRow = triangle.get(row);
int col = curRow.size() - 1;
dp[col] = dp[col - 1] + curRow.get(col);
col--;
for (; col > 0; col--) {
dp[col] = Math.min(dp[col - 1], dp[col]) + curRow.get(col);
}
dp[col] = dp[col] + curRow.get(col);
}
int min = Integer.MAX_VALUE;
for (int col = 0; col < cols; col++) {
min = Math.min(min, dp[col]);
}
return min;
}
另外,大家可以试一试自底向上的方法,写起来还相对简单些。
总
就是 115 题 的变形了,没有新东西,如果理解了 115 题 ,那么这道题直接套算法就行,基本不用思考了。
更多详细通俗题解详见 leetcode.wang 。
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