P2.布拉格方程与厄瓦尔德图解

作者: 光头披风侠 | 来源:发表于2019-04-04 14:00 被阅读0次

布拉格方程与厄瓦尔德图解

写出布拉格方程,说明公式中各参数的含义并讨论衍射的极限条件

答：

布拉格方程： $2dsin\theta=n\lambda$

$d$ 是衍射面间距; $\theta$ 为掠射角; $\lambda$ 为入射 $X$ 光波长; $n$ 为反射级数(正整数)
衍射极限条件：

a.由于 $sin\theta\in[0,1]$ ,所以反射级数 $n$ 会受到限制;

b. $d=\frac{n\lambda}{2sin\theta}\ge\frac{\lambda}{2}$ ,表明只有干涉面间距大于等于半波长干涉面间距才能参与反射;

c. $sin\theta$ 一定时, $\lambda\downarrow$ ,相应的 $d\downarrow n\uparrow$ ,表明用短波 $X$ 光可获得高的反射级数,参与的干涉面将增多

2.若采用 $CrKa(\lambda=2.291\mathring{A})$ 射线照射到 $\alpha-Fe$ 晶体 $(BCC,a=2.8664\mathring{A})$ ,计算能获得最大 $\theta$ 角为多少？
答：
$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}$
由布拉格方程可知：
$sin^2\theta=(\frac{n\lambda}{2d})^2=\frac{n^2\lambda^2(h^2+k^2+l^2)}{4a^2}=0.1597n^2(h^2+k^2+l^2)\le1$
所以在满足上式的情况下:

比较可得,选取 $n=1$ , $(h^2+k^2+l^2)=6$ 时,取到最大 $\theta$ 角, $\theta_{Max}=78.2^\circ$

若采用 $CuKa(\lambda=1.542\mathring{A})$ 射线照射到 $\alpha-Fe$ 晶体 $(BCC,a=2.8664\mathring{A})$ ,下面哪些干涉面能发生衍射，并求出其掠射角 $\theta$ 。(100),(110),(111),(210),(211),(321)

答：

对于体心立方，结构因子为：
$|F|^2=\begin{cases} 0 &\text{if } H+K+L= \text{奇数}\\ 4f^2 &\text{if } H+K+L= \text{偶数} \end{cases}$
所以(110),(211),(321)面可能发生衍射，对应的衍射角为：
$d_{HKL}=\frac{a}{\sqrt{H^2+K^2+L^2}}\\ sin\theta=\frac{\lambda}{2d_{HKL}}$

干涉面衍射角

(110) $sin\theta=0.38$ $\theta=22.3^\circ$

(211) $sin\theta=0.538$ $\theta=32.5^\circ$

(321) $sin\theta=1.006$ 无衍射角

$\therefore$ (110),(211)干涉面可以发生衍射，衍射角分别为 $22.3^\circ,32.5^\circ$
现有一立方晶体，其每个单位晶胞中含有位于： $[0,0,0],[0,1/2,1/2],[1/2,0,1/2],[1/2,1/2,0]$ 上的四个同类原子。

1、此种晶体为何种布拉格点阵？试推倒这种点阵的结构因子 $|F|^2$ 的表达式。

2、计算出(100),(111),(210),(220)反射的 $|F|^2$ 的值

3、总结这种类型晶体的系统消光规律，写出此类晶体可能发生衍射的前4个干涉面的干涉指数

答：

1、此种晶体为面心立方。结构因子为：
$|F|^2=f^2[1+cos\pi(K+L)+cos\pi(H+L)+cos\pi(H+K)]^2$
2、各干涉面的 $|F|^2$ 的值为：

干涉面 (100) (111) (210) (220)

$ F ^2$ 0 $16f^2$ 0 $16f^2$

3、晶体的消光条件：
$|F|^2=\begin{cases} 0 &H,K,L\text{奇偶混合}\\ 16f^2 & H,K,L\text{全奇/全偶} \end{cases}$
前四个干涉面为：(000),(111),(200),(311)。
若采用 $CuKa(\lambda=1.542\mathring{A})$ 所获得得某立方系样品的粉末衍射图样，其前五根线条相应的 $sin^2\theta$ 值分别为：0.1118、0.1487、0.294、0.403、0.439。试判断这种样品为什么晶格结构？标定这些线条的指数？并计算晶格常数。

答：
$\because0.1118:0.1487:0.294:0.403:0.439=3:4:8:11:12\\ \therefore\text{为面心立方结构}$
对应的指数为(111),(200),(220),(311),(222)

又：
$2d_{HKL}sin\theta=\lambda\\ d_{hkL}=\frac{a}{\sqrt{H^2+K^2+L^2}}\\ \therefore sin^2\theta=\frac{\lambda^2}{4a^2}(H^2+K^2+L^2)$
带入0.1118与对应指数(111)球的晶格常数：
$a=0.4nm$
今要测定变形铜镍合金试样的宏观应力，当用 $CoK_\alpha(\lambda=0.17903nm)$ 照射其(400)面，当 $\Psi=0^\circ$ 时测得 $2\theta=157.16^\circ$ 。当 $\Psi=45^\circ$ 时测得 $2\theta=157.96^\circ$ ，问试样表面的宏观应力为多少？(晶格常数 $a=0.3645nm,E=1299MPa,v=0.333$ )

答：

使用 $0^\circ-45^\circ$ 法
$\sigma_\phi=K\cdot M=-\frac{E}{2(1+v)}cot\theta_0\frac{\pi}{180^\circ}\frac{2\theta_{45^\circ}-2\theta_{0^\circ}}{sin^{2}_{45^\circ}}$
求得表面的宏观应力为 $-2.72MPa$