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在接下来的一些博客将介绍各种离散概率分布(Discrete probability distribution)。
所谓"离散"是指随机变量只能取有限个或者可列举无穷多个值。常见的离散分布有二项分布、泊松分布、几何分布、负二项分布和多项分布等。
在介绍具体分布之前，先介绍离散分布中的两个重要函数：
-
概率质量函数(probability mass function，简称PMF)：是离散随机变量X在各特定取值上的概率P(x)，其总和为1。与概率密度函数f(x)不同，概率质量函数是对离散随机变量定义的，本身就代表该值的概率；而概率密度函数是对连续随机变量定义的，本身不是概率，它在某区间内的积分才是概率。
-
累积分布函数(cumulative distribution function, 简称CDF)：定义为F(x)=P(X≤x)，是单调递增的，且满足：F(－∞)=0和F(+∞)=1。对离散分布而言，它是所有小于等于x的值出现的概率之和。
下图是离散分布的一个例子，随机变量的可能取值为1，2和3，取值概率分别为0.25，0.5和0.25，红色虚线是其累积分布函数F(x)。
离散分布
好了，回到今天的主题，下面将介绍伯努利分布和二项分布。
1. 伯努利分布
在现实生活中，许多事件的结果往往只有两个。例如：抛硬币，正面朝上的结果只有两个：国徽或面值；检查某个产品的质量，其结果只有两个：合格或不合格；购买彩票，开奖后，这张彩票的结果只有两个：中奖或没中奖；拨打女朋友电话：接通或没接通。。。以上这些事件都可被称为伯努利试验。
雅各布·伯努利
伯努利试验是单次随机试验，只有"成功（值为1）"或"失败（值为0）"这两种结果，是由瑞士科学家雅各布·伯努利(1654 - 1705)提出来的。
其概率分布称为伯努利分布(Bernoulli distribution)，也称为两点分布或者0-1分布，是最简单的离散型概率分布。我们记成功概率为p(0≤p≤1)，则失败概率为q=1-p，则：
- 其概率质量函数为：
- 其期望值为：
- 其方差为：
2. 二项分布
2.1 定义
假设某个试验是伯努利试验，其成功概率用p表示，那么失败的概率为q=1-p。进行n次这样的试验，成功了x次，则失败次数为n-x，发生这种情况的概率可用下面公式来计算：
我们称上面的公式为二项分布(Binomial distribution)的概率质量函数。其中
是组合公式，表示从n个不同元素中取出x个元素的所有组合的个数。感叹号!是阶乘运算符，例如：5!=5x4x3x2=120，在R中可用内置的factorial()函数来计算阶乘。此外R内置choose()函数可用来直接计算组合数。看个例子：
##20选5
> factorial(20)/(factorial(5)*factorial(20-5))
[1] 15504
> choose(20, 5)
[1] 15504
从二项分布公式可知，概率分布由试验次数n和"成功"概率p决定，因此二项分布的概率质量函数可以简写为X~B(n, p)。
2.2 性质
二项分布的均值和方差分别为np和npq，这个结论这里就不推导了，具体可参考https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution。
二项分布的另一个性质是其分布形状的变化规律。从二项分布概率质量函数P(x)可知，概率分布只与试验次数n和成功概率p有关，其分布形状的变化规律为：
-
"成功"概率p越接近0.5(也即"成功"概率与"失败"概率越接近)，二项分布将越对称。保持二项分布试验的次数n不变，随着成功概率p越接近0.5，二项分布逐渐对称，且近似于均值为np、方差为npq的正态分布。(见下图的第一排3个子图)
-
对于任意"成功"概率p，无论其距离0.5有多远，随着试验次数n的增加，二项分布与均值为np、方差为npq的正态分布越来越接近。(见下图的第二排3个子图)
以上两个二项分布形状变化规律，可明显由下图观察出来。图中的横轴代表试验"成功"的次数；纵轴代表次数对应的概率；红线是均值为np、方差为npq的正态分布曲线。
不同n和p下的二项分布
由此可见，二项分布是一个概率分布族，随着试验次数n和成功概率p的不同而不同，且它与正态分布关系密切。
绘制上图的R代码为：
> par(mar=c(2.5, 4, 2, 0.1), mfrow=c(2,3))
> n <- c(8, 8, 8, 5, 10, 30)
> p <- c(0.1, 0.3, 0.5, 0.2, 0.2, 0.2)
> for(i in 1:length(p))
+ {
+ n1 <- n[i]
+ p1 <- p[i]
+ x <- 0:n1
+ px <- choose(n1, x)*p1^x*(1-p1)^(n1-x)
+
+ ## 绘制二项分布的概率分布
+ plot(x,
+ type='n',
+ xlim=c(0, n1),
+ ylim=c(0, max(px)+0.025),
+ ylab='P(x)',
+ main=paste0('n=',n1,', p=',p1),
+ cex.main=2)
+ rect(x-0.1, 0, x+0.1, px, col='green')
+
+ ## 添加正态分布曲线，均值为np和方差为npq
+ xv <- seq(-1, n1, length.out=1000)
+ yv <- dnorm(xv, mean=n1*p1, sd=sqrt(n1*p1*(1-p1)))
+ lines(xv, yv, col='red', lwd=1.5)
+ }
2.3 R中的相关函数
对于二项分布，R中有四个相关函数可用，分别是：
-
dnomial(x, size, prob)：返回成功x次的概率 -
pnomial(q, size, prob)：返回至多成功x次的概率，即累积概率 -
qnomial(p, size, prob)：返回相应分位点x，详情见下面的例子 -
rnomial(n, size, prob)：返回每组试验的成功次数
这四个函数都有size和prob参数，分别对应于二项分布的试验次数n和成功概率p。下面通过一个例子来了解如何使用它们：
假设我们玩捉泥鳅游戏，每次捉住的概率为0.1(p=0.1)，总共玩6次(size=6)。
第一个问题：6次中有2次捉住泥鳅的概率有多大？这时就要用到dbinom(x, size, prob)函数，其中x参数指定成功的次数，函数返回相应概率，比如：
> size <- 6 ##试验次数
> p <- 0.1 ##成功概率
> dbinom(2, size, p) ##成功捉住2次的概率
[1] 0.098415
> dbinom(0:size, size, p) ##整个概率分布
[1] 0.531441 0.354294 0.098415 0.014580 0.001215 0.000054 0.000001
> sum(dbinom(0:size, size, p)) ##所有概率之和为1
[1] 1
通过dbinom()函数可以很容易绘制出概率分布图：
从上图可知，一次都捉不住的概率很大(大于50%)
上图的R代码如下：
> size <- 6
> p <- 0.1
> barplot(dbinom(0:size, size, p),
+ names=0:size,
+ xlab='成功次数',
+ ylab='P(x)',
+ col="red",
+ cex.lab=1.4)
第二个问题：6次中至多有3次捉住泥鳅的概率有多大？这时就要用到pbinom(q, size, prob)函数，其中q参数指定至多次数(这里是3)，函数返回相应累积概率，比如：
> pbinom(3, size, p) ##成功捉住2次的概率
[1] 0.99873
## 绘制整个累积分布
> barplot(pbinom(0:size, size, p),
+ names=0:size,
+ xlab='成功次数',
+ ylab='F(x)',
+ col="red",
+ cex.lab=1.4)
从上图和计算可知，6次中至多有3次捉住泥鳅的概率非常大(约99.873%)
第三个问题：有时想知道，90%概率下我们至多能捉住多少次泥鳅？这时就要用到qbinom(p, size, prob)函数，其中p参数指定概率(这里是0.9)，函数返回相应分位点x(即F(x)≥0.9对应的最小x值)，比如：
> size <- 6
> p <- 0.1
> qbinom(0.9, size, p)
[1] 2
计算结果显示，6次中90%概率下我们至多能捉住2次泥鳅
最后一个问题：重复10000组，每组6次试验，每组捉住泥鳅的次数是多少？这时就要用到rbinom(n, size, prob)函数，其中n参数指定试验组数(这里为10000)，函数返回每组的成功次数，比如：
> set.seed(12) ##设置随机数种子，使下面随机结果可重复
> size <- 6 ##每组试验次数
> p <- 0.1 ##成功概率
> n <- 10000 ##试验组数
> ns <- rbinom(n, size, p) ##每组成功的次数
> table(ns) ##统计成功次数
ns
0 1 2 3 4 5
5286 3512 1040 145 16 1
> mean(ns) ##成功次数的平均值
[1] 0.6096
> size*p ##二项分布的成功次数的期望值
[1] 0.6
> var(ns) ##成功次数的方差
[1] 0.5542433
> size*p*(1-p) ##二项分布的方差
[1] 0.54
计算结果显示，当组数足够大，每组成功次数的平均值和方差与理论值很接近。
伯努利分布和二项分布的介绍就到此结束，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持本公众号。
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