两个随机变量的函数的分布

作者: Raow1 | 来源:发表于2020-12-29 23:15 被阅读0次

1. 两个连续性随机变量

1.1 $Z=X+Y$ 的分布

1.2 $Z=XY、Z=\frac{Y}{X}$ 的分布

2. 一个为连续，另一个为离散

2.1 $Z=X+Y$ 的分布

设 $X$ 是离散型随机变量，其分布列为
$P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdots$
$Y$ 是连续性随机变量，其概率密度为 $f_Y(y)$ ；在 $X=x_k$ 的条件下， $Y$ 的条件密度为 $f_{Y|X}(y|x_k)$ ；则 $Z=X+Y$ 为连续型随机变量，其概率密度为
$f_Z(z)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}p_k f_{Y|X}(z-x_k|x_k)$
又若 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则
$f_Z(z)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}p_k f_Y(z-x_k)$

证明：
$\begin{align*} F_Z(z) &= P(Z \leq z) \\ &= P(X+Y \leq z) \\ &= P(\cup \{X=x_k, Y \leq z-x_k \}) \\ &= \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} P(X=x_k)P(Y \leq z-x_k | X=x_k) \\ &= \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} p_k \int_{- \infty}^{z-x_k} f_{Y|X}(y|x_k) \mathrm d y \\ &\xlongequal{y=u-x_k} \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} p_k \int_{- \infty}^{z} f_{Y|X}(u-x_k|x_k) \mathrm d u \\ &= \int_{- \infty}^{z} \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}p_k f_{Y|X}(u-x_k|x_k) \mathrm d u \end{align*}$
所以，
$f_Z(z)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}p_k f_{Y|X}(z-x_k|x_k)$

2.2 $Z=XY$ 的分布

对于同上的 $X,Y$ ，则 $Z=XY$ 为连续型随机变量，其概率密度为
$f_Z(z)=\displaystyle\sum_{x_k > 0} p_k \frac{1}{x_k} f_{Y|X}(\frac{z}{x_k}|x_k) - \displaystyle\sum_{x_k < 0} p_k \frac{1}{x_k} f_{Y|X}(\frac{z}{x_k}|x_k)$
又若 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则
$f_Z(z)=\displaystyle\sum_{x_k > 0} p_k \frac{1}{x_k} f_{ Y }(\frac{z}{x_k } ) - \displaystyle\sum_{x_k < 0} p_k \frac{1}{x_k} f_{Y}(\frac{z}{x_k})$

证明：
$\begin{align*} F_Z(z) &= P(Z \leq z) \\ &= P(XY \leq z) \\ &= P(\cup \{X=x_k,x_kY \leq z \}) \\ &= \displaystyle\sum_{x_k > 0} P(X=x_k,Y \leq \frac{z}{x_k}) + \displaystyle\sum_{x_k < 0} P(X=x_k,Y \geq \frac{z}{x_k}) \\ &= \displaystyle\sum_{x_k > 0} P(X=x_k)P(Y \leq \frac{z}{x_k} | X=x_k) + \displaystyle\sum_{x_k < 0} P(X=x_k)P(Y \geq \frac{z}{x_k} |X=x_k) \\ &= \displaystyle\sum_{x_k > 0} p_k \int_{- \infty}^{\frac{z}{x_k}} f_{Y|X}(y|x_k) \mathrm d y + \displaystyle\sum_{x_k <0} p_k \int^{ \infty}_{\frac{z}{x_k}} f_{Y|X}(y|x_k) \mathrm d y \\ &\xlongequal{y=\frac{u}{x_k}} \displaystyle\sum_{x_k > 0} p_k \int_{- \infty}^{z} \frac{1}{x_k}f_{Y|X}(\frac{u}{x_k}|x_k) \mathrm d u + \displaystyle\sum_{x_k <0} p_k \int^{ - \infty}_{z} \frac{1}{x_k} f_{Y|X}(\frac{u}{x_k} |x_k) \mathrm d u \\ &= \int_{- \infty}^{z} \displaystyle\sum_{x_k > 0} p_k \frac{1}{x_k}f_{Y|X}(\frac{u}{x_k}|x_k) \mathrm d u - \int_{- \infty}^{z} \displaystyle\sum_{x_k < 0} p_k \frac{1}{x_k}f_{Y|X}(\frac{u}{x_k}|x_k) \mathrm d u \end{align*}$
所以，
$f_Z(z)=\displaystyle\sum_{x_k > 0} p_k \frac{1}{x_k} f_{Y|X}(\frac{z}{x_k}|x_k) - \displaystyle\sum_{x_k < 0} p_k \frac{1}{x_k} f_{Y|X}(\frac{z}{x_k}|x_k)$

2.3 $Z=\frac{Y}{X}$ 的分布

对于同上的 $X,Y$ ，则 $Z=\frac{Y}{X}$ 为连续型随机变量，其概率密度为
$f_Z(z)=\displaystyle\sum_{x_k > 0} p_k x_k f_{Y|X}(zx_k|x_k) - \displaystyle\sum_{x_k < 0} p_k x_k f_{Y|X}(zx_k|x_k)$
又若 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则
$f_Z(z)=\displaystyle\sum_{x_k > 0} p_k x_k f_{Y}(zx_k) - \displaystyle\sum_{x_k < 0} p_k x_k f_{Y}(zx_k)$

证明方法同 $Z=XY$ 的情况，不详细说明。

两个随机变量的函数的分布

1. 两个连续性随机变量

1.1 $Z=X+Y$ 的分布

1.2 $Z=XY、Z=\frac{Y}{X}$ 的分布

2. 一个为连续，另一个为离散

2.1 $Z=X+Y$ 的分布

2.2 $Z=XY$ 的分布

2.3 $Z=\frac{Y}{X}$ 的分布

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