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两个随机变量的函数的分布

两个随机变量的函数的分布

作者: Raow1 | 来源:发表于2020-12-29 23:15 被阅读0次

1. 两个连续性随机变量

1.1 Z=X+Y的分布

1.2 Z=XY、Z=\frac{Y}{X}的分布

2. 一个为连续，另一个为离散

2.1 Z=X+Y的分布

设X是离散型随机变量，其分布列为
P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdots
Y是连续性随机变量，其概率密度为f_Y(y)；在X=x_k的条件下，Y的条件密度为f_{Y|X}(y|x_k)；则Z=X+Y为连续型随机变量，其概率密度为
f_Z(z)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}p_k f_{Y|X}(z-x_k|x_k)
又若X和Y相互独立，则
f_Z(z)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}p_k f_Y(z-x_k)

证明：
\begin{align*} F_Z(z) &= P(Z \leq z) \\ &= P(X+Y \leq z) \\ &= P(\cup \{X=x_k, Y \leq z-x_k \}) \\ &= \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} P(X=x_k)P(Y \leq z-x_k | X=x_k) \\ &= \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} p_k \int_{- \infty}^{z-x_k} f_{Y|X}(y|x_k) \mathrm d y \\ &\xlongequal{y=u-x_k} \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} p_k \int_{- \infty}^{z} f_{Y|X}(u-x_k|x_k) \mathrm d u \\ &= \int_{- \infty}^{z} \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}p_k f_{Y|X}(u-x_k|x_k) \mathrm d u \end{align*}
所以，
f_Z(z)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}p_k f_{Y|X}(z-x_k|x_k)

2.2 Z=XY的分布

对于同上的X,Y，则Z=XY为连续型随机变量，其概率密度为
f_Z(z)=\displaystyle\sum_{x_k > 0} p_k \frac{1}{x_k} f_{Y|X}(\frac{z}{x_k}|x_k) - \displaystyle\sum_{x_k < 0} p_k \frac{1}{x_k} f_{Y|X}(\frac{z}{x_k}|x_k)
又若X和Y相互独立，则
f_Z(z)=\displaystyle\sum_{x_k > 0} p_k \frac{1}{x_k} f_{ Y }(\frac{z}{x_k } ) - \displaystyle\sum_{x_k < 0} p_k \frac{1}{x_k} f_{Y}(\frac{z}{x_k})

证明：
\begin{align*} F_Z(z) &= P(Z \leq z) \\ &= P(XY \leq z) \\ &= P(\cup \{X=x_k,x_kY \leq z \}) \\ &= \displaystyle\sum_{x_k > 0} P(X=x_k,Y \leq \frac{z}{x_k}) + \displaystyle\sum_{x_k < 0} P(X=x_k,Y \geq \frac{z}{x_k}) \\ &= \displaystyle\sum_{x_k > 0} P(X=x_k)P(Y \leq \frac{z}{x_k} | X=x_k) + \displaystyle\sum_{x_k < 0} P(X=x_k)P(Y \geq \frac{z}{x_k} |X=x_k) \\ &= \displaystyle\sum_{x_k > 0} p_k \int_{- \infty}^{\frac{z}{x_k}} f_{Y|X}(y|x_k) \mathrm d y + \displaystyle\sum_{x_k <0} p_k \int^{ \infty}_{\frac{z}{x_k}} f_{Y|X}(y|x_k) \mathrm d y \\ &\xlongequal{y=\frac{u}{x_k}} \displaystyle\sum_{x_k > 0} p_k \int_{- \infty}^{z} \frac{1}{x_k}f_{Y|X}(\frac{u}{x_k}|x_k) \mathrm d u + \displaystyle\sum_{x_k <0} p_k \int^{ - \infty}_{z} \frac{1}{x_k} f_{Y|X}(\frac{u}{x_k} |x_k) \mathrm d u \\ &= \int_{- \infty}^{z} \displaystyle\sum_{x_k > 0} p_k \frac{1}{x_k}f_{Y|X}(\frac{u}{x_k}|x_k) \mathrm d u - \int_{- \infty}^{z} \displaystyle\sum_{x_k < 0} p_k \frac{1}{x_k}f_{Y|X}(\frac{u}{x_k}|x_k) \mathrm d u \end{align*}
所以，
f_Z(z)=\displaystyle\sum_{x_k > 0} p_k \frac{1}{x_k} f_{Y|X}(\frac{z}{x_k}|x_k) - \displaystyle\sum_{x_k < 0} p_k \frac{1}{x_k} f_{Y|X}(\frac{z}{x_k}|x_k)

2.3 Z=\frac{Y}{X}的分布

对于同上的X,Y，则Z=\frac{Y}{X}为连续型随机变量，其概率密度为
f_Z(z)=\displaystyle\sum_{x_k > 0} p_k x_k f_{Y|X}(zx_k|x_k) - \displaystyle\sum_{x_k < 0} p_k x_k f_{Y|X}(zx_k|x_k)
又若X和Y相互独立，则
f_Z(z)=\displaystyle\sum_{x_k > 0} p_k x_k f_{Y}(zx_k) - \displaystyle\sum_{x_k < 0} p_k x_k f_{Y}(zx_k)

证明方法同Z=XY的情况，不详细说明。

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