二元随机变量分布函数、边际分布函数及条件分布函数

作者: 大梦三千秋 | 来源:发表于2020-04-28 18:56 被阅读0次

二元随机变量分布函数、边际分布函数及条件分布函数
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二元随机变量分布函数、边际分布函数及条件分布函数

联合分布函数

定义： 设 $(X,Y)$ 是二元随机变量，对于任意实数 $x, y$ ，二元函数

$F(x,y)=P\{(X\leq x) \bigcap (Y\leq y)\} \overset{\text{记成}}{=}P(X\leq x,Y\leq y)$

称为二元随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数。

例 1： 设随机变量 $X$ 在 1、2、3、4 四个整数中等可能地取一个值，随机变量 $Y$ 在 $1\sim X$ 中等可能地取一个整数值，求 $F(3.5, 2)$ .

解： $X、Y$ 的取值情况均为 1,2,3,4；当 $i,j=1,\cdots,4$ 时

$P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j|X=i)=\begin{cases} \cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{i}, &i\geq j \\ \\ \cfrac{1}{4} \times 0, &i<j \end{cases}$

联合概率分布律如下：

$\begin{array}{c|cc} _X\bcancel{\quad^Y} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 1 & \cfrac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ \\ 2 & \cfrac{1}{8} & \cfrac{1}{8} & 0 & 0 \\ \\ 3 & \cfrac{1}{12} & \cfrac{1}{12} & \cfrac{1}{12} & 0 \\ \\ 4 & \cfrac{1}{16} & \cfrac{1}{16} & \cfrac{1}{16} & \cfrac{1}{16} \end{array}$

$F(3.5, 2) = P(X\leq 3.5, Y\leq 2)$

$=\cfrac{1}{4} + 0 + \cfrac{1}{8} + \cfrac{1}{8} + \cfrac{1}{12} + \cfrac{1}{12} = \cfrac{2}{3}$

一般得：
$F(x,y) = P(X\leq x, Y\leq y)=\sum_{x_i\leq x, y_j\leq y} P(X=x_i, Y=y_j)$

二元离散型随机变量概率分布图

image.png

$F(x,y)= \begin{cases} 0, & x<1 或 y<1 \\ 1/4, &1\leq x < 2, y\geq 1 \\ \quad & \quad \cdots \\ \color{lime}{2/3,} & \color{lime}{3 \leq x < 4, 2 \leq y < 3} \\ \quad & \quad \cdots \\ 1, & x\geq 4, y\geq 4 \end{cases}$

分布函数 $F(x, y)$ 的性质

$F(x,y)$ 关于 $x, y$ 单调不减，即：

$\quad \,\,\,\, x_1 < x_2 \implies F(x_1,y)\leq F(x_2,y)$

$\quad \,\,\,\, y_1 < y_2 \implies F(x,y_1)\leq F(x,y_2)$

分布函数1.jpg

分布函数2.jpg

$0\leq F(x,y) \leq 1, F(+\infty, +\infty)=1$

$\quad \,\,\,\,$ 对任意 $x$ 及 $y$ 有：

$\quad \,\,\,\, F(-\infty, y)=F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0$

$F(x,y)$ 关于 $x,y$ 右连续，即：

$\lim_{\epsilon\to 0^{+}} F(x+\epsilon, y) = F(x,y) \quad \text{以及} \quad \lim_{\epsilon\to 0^{+}} F(x, y+\epsilon) = F(x,y)$

若 $x_1 < x_2, y_1<y_2$ ，则有

$\quad \,\,\,\, P(x_1<X\leq x_2, y_1<Y\leq y_2)=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\geq 0$

分布函数3.jpg

边际分布函数

二元随机变量 $(X,Y)$ 作为整体，有其联合分布函数 $F(x,y)$ ， $X$ 和 $Y$ 也有它们自己的分布函数，分别记为： $F_X(x),F_Y(y)$ ，并称他们为边际分布函数。

$\begin{aligned} & F_X(x) = F(x,+\infty) = \lim_{y\to \infty}F(x,y) \\ & F_Y(y) = F(+\infty, y) = \lim_{x\to \infty}F(x,y) \end{aligned}$

即在分布函数 $F(x,y)$ 中，令 $y\to +\infty$ ，就能得到 $F_X(x)$ ， $F_Y(y)同理$ 。

例 2： 设 $(X,Y)$ 的分布函数

$F(x,y)= \begin{cases} 1-e^{-0.5x}-e^{-0.5y}+e^{-0.5(x+y)}, &x\leq 0, y\leq 0 \\ \quad \quad \quad \quad 0, & \text{其他} \end{cases}$

求 $X$ 的边际分布函数 $F_X(x)$ 。

解：
$\begin{aligned} F_X(x) &=F(x,+\infty)=\lim_{y\to +\infty}F(x,y) \\ &=\begin{cases} \lim_{y\to +\infty}(1-e^{-0.5x}-e^{-0.5y}+e^{-0.5(x+y)}), & x\geq 0 \\ \\ 0, & x<0 \end{cases} \\ &=\begin{cases} 1-e^{-0.5x}, & x\geq 0 \\ 0, & x<0 \end{cases} \end{aligned}$

条件分布函数

定义： 若 $P(Y=y)>0$ ，则在 $Y=y$ 条件下， $X$ 的条件分布函数为：

$F_{X|Y}(x|y) = P(X\leq x|Y=y)=\cfrac{P(X\leq x, Y=y)}{P(Y=y)}$

若 $Y$ 位离散型随机变量，就可满足 $P(Y=y)>0$ ，但当 $Y$ 为连续型随机变量时，显然 $P(Y=y)=0$ ，所以这时不能这样定义条件分布函数。

若 $P(Y=y)=0$ ，但对任一 $\epsilon > 0, P(y<Y\leq y+\epsilon)>0$ ，则在 $Y=y$ 条件下， $X$ 的条件分布函数定义为：

$\begin{aligned} F_{X|Y}(x|y) &= \lim_{\epsilon\to 0^{+}}P(X\leq x|y<Y\leq y+\epsilon) \\ &=\lim_{\epsilon\to 0^{+}}\cfrac{P(X\leq x,y<Y\leq y+\epsilon)}{P(y<Y\leq y+\epsilon)} \end{aligned}$

此时，仍记为 $P(X\leq x|Y=y)$

即： $F_{X|Y}(x|y) = P(X\leq x|Y=y)$

例 3： 设

$F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<1 \\ 0.3, &1\leq x<2 \\ 1, & x\geq 2 \end{cases},\quad F_Y(y)= \begin{cases} 0, &y<0 \\ 0.4, &0\leq y<1 \\ 1, &y\geq 1 \end{cases},$

$P(X=1,Y=0)=0.1$ ，求

（1）联合分布律；

（2）当 $Y=0$ 时， $X$ 的条件分布律 $P(X=k|Y=0)$ ；

（3） $Y=0$ 时， $X$ 的条件分布函数。

解： (1) 由分布函数知，这两个变量是离散型的，分布律先写在联合分布律表中。注意： $P(X=x_0)=F(x_0)-F(x_0-0)$

$\begin{array}{c|cc|c} _X\bcancel{\quad^Y} & 0 & 1 & p_{i\cdot} \\ \hline 1 & 0.1 & \color{fuchsia}{0.2} & \color{red}{0.3} \\ 2 & \color{fuchsia}{0.3} & \color{fuchsia}{0.4} & \color{red}{0.7}\\ \hline p_{\cdot j} & \color{red}{0.4} & \color{red}{0.6} & \end{array}$

(2) $P(X=k|Y=0)=\cfrac{P(X=k,Y=0)}{P(Y=0)}=\cfrac{P(X=k,Y=0)}{0.4}, \, k=1,2$

$\begin{array}{c|cc} X & 1 & 2 \\ \hline P(X=k|Y=0) & 0.25 & 0.75 \end{array}$

(3)
$\begin{aligned} F_{X|Y}(x|0)&=P(X\leq x|Y=0) \\ &=\begin{cases} 0, & x<1 \\ 0.25, & 1\leq x < 2 \\ 1, & x\geq 2 \end{cases} \end{aligned}$

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