十三 OpenGL中的向量和矩阵

1 向量

1.1 向量的定义

坐标系中的一个坐标(x,y,z)，即从坐标原点（0,0,0)指向(x,y,z)的一个向量，包含方向和模（到坐标原点的距离）

向量的模|xyz|的计算公式：

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如下图：

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向量（x0,y0,0)的模是

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而（x0,y0,0)与（x0,y0,z0)连线垂直于z=0平面，所以（x0,y0,z0)的长度为

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1.2 单位向量

模为1的向量

1.3 向量的标准化

(x,y,z) ---> (x/|xyz|,y/|xyz|,z/|xyz|)

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注意： 零向量不能被标准化，数学上没意义：除数为0，几何上也没有意义：零向量没有方向

1.4 零向量

大小为0，没有方向

1.5 负向量

与原向量大小相等，方向相反

1.6 标量与向量的乘法

向量的每个元素*标量后组成的向量，几何意义是：缩放向量的长度，当标量为-1时，是翻转

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注意：

• 标量和向量相乘时，不需要写乘法。将2个量挨着写即表示相乘（常将标量写在左边）
• 标量与向量的乘法和除法优先级高于加法和减法
• 标量不能除以向量，并且向量不能除以另一个向量
• 负向量能被认为乘法的特殊情况，乘以标量-1

1.7 向量的加法和减法：加减法的两个向量维度必须相同

对应分量相加/相减

a+b几何意义：平移向量，使向量a的头连接向量b的尾，接着从a的尾向b的头画一个向量
a-b：是向量a和b的尾向连，从b的头画一个向量指向a的头。a-b的模是a,b两点之间的距离
注意：向量不能与标量或者维度不同的向量相加减;向量加法满足交换律a+b = b+a,当a=b时a-b = b-a

1.8 向量的点乘

点乘的含义是：两个向量的夹角的余弦值(前提是相乘的两个向量均为单位向量)
A · B = |A|·|B|·cos<A,B>

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1.9 向量的叉乘

两个向量叉乘，得到一个新向量C，与原来的两个向量垂直的向量。

叉乘，也叫向量的外积、向量积。

|向量C|=|向量A✖向量B|=|A||B|sin<A,B>

向量C的方向与A，B所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量A的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量B的方向，大拇指所指的方向就是向量C的方向）

注：向量的叉乘不满足交换律，因为A✖B=-B✖A;乘法在加减法之前计算; 当点乘和叉乘在一起时, 叉乘优先计算;任意向量与自身叉乘等于零向量

给定 2 个向量量 v 和 n . 能将 v 分解成 2 个向量: V1 和 V2; 它们分别平行于和垂直于 n; 并且满⾜足 v = v1 + v2; 一般平行向量 V2 为 v 在 n 上的投影

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V2 平⾏于 n ,可求解:

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V1 = V -V2

2 矩阵 float m[]=[A0,A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,A12,A13,A14,A15]

2.1 行优先矩阵排序，即行矩阵

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2.2 列优先矩阵排序，即列矩阵

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注意： 列矩阵是矩阵的最后一行都为0，只有最后一个元素为1

2.3 单元矩阵

GLFloat m[] = { 1,0,0,0,
                0,1,0,0,
                0,0,1,0,
                0,0,0,1}

对角线为1，其他位置为0 的矩阵
一个向量 * 单元矩阵 不会发生变化

2.4 矩阵相乘

A ✖ B 计算的前提条件是： A的列数 = B的行数

3 OpenGL中的矩阵和向量

OpenGL中向量和矩阵都倾向于采用一维数组表示

3.1 向量的声明和定义，计算

• 三维向量/四维向量的声明

typedef float M3DVector3f[3]; 
typedef float M3DVector4f[4];

• 定义第一个三维向量

M3DVector3f vVector;

• 定义一个四维向量并初始化

M3DVector4f vVertex = {0,0,1,1};

• 向量的点乘

float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);

• 获取2个向量之间夹⻆的弧度值

float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const
M3DVector3f v);

• 向量的叉乘 result = u ✖ v

void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f  u ,const M3DVector3f v);

3.2 矩阵的声明，定义和计算

三维矩阵/四维矩阵的声明

typedef float M3DMatrix33f[9];
typedef float M3DMatrix44f[16]

单元矩阵的三种定义方式

• 方式1：

GLFloat m[] = { 1,0,0,0,
                0,1,0,0,
                0,0,1,0,
                0,0,0,1}

• 方式2 ：

M3DMatrix44f m = { 1,0,0,0,
                    0,1,0,0,
                    0,0,1,0,
                    0,0,0,1}

• 方式3 ：

void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);

3.2 顶点变换

• 线性代数下的顶点变换为：

变换后顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro

变换后顶点向量 = 顶点 ✖ 模型矩阵 ✖ 观察矩阵 ✖ 投影矩阵;

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注：图引自逻辑教育CC老师课件

• OpenGL下的顶点变换为：

变换顶点向量 = M_pro * M_view * M_model * V_local

变换顶点向量 = 投影矩阵 ✖ 视图变换矩阵 ✖ 模型矩阵 ✖ 顶点

3.3 矩阵的计算

• 左乘

  MultMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix)

  1). 从栈顶获取栈顶矩阵 复制到 mTemp

  2). 将栈顶矩阵 mTemp 左乘 mMatrix (mTemp ✖ mMatrix )

  3). 将结果放回栈顶空间⾥;

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3.2 OpenGL中的矩阵变换

• 视图变换:将观察者放在你希望的任何位置，并允许在任何方向上观察场景, 确定视图变换就像在场景中放置观察者并让它指向某⼀个方向观察，默认观察者位于（0，0，0）向Z轴负方向进行观察。在应用任何其他模型变换之前, 必须先应⽤视图变换

• 模型变换:在场景中移动物体进行平移、旋转、缩放

  
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• 模型视图变换：描述视图/模型变换的二元性

• 投影：改变视景体⼤小和设置它的投影方式

• 视⼝：伪变化,对窗口上最终输出进行缩放

3.3 OpenGL中矩阵变换的使用

• 平移

将矩阵m 在x方向平移x0个单位，y方向平移y0个单位，z方向平移z0个单位后结果存放在m矩阵中。

void m3dTranslationMatrix44(M3DMatrix44f m, floata x0, float y0, float z0);

• 旋转

围绕某一轴旋转一定弧度

m3dRotationMatrix44(m3dDegToRad(45.0), floata x, float y, float z);

• 缩放 ：

将矩阵m 在x方向缩放xScale倍，y方向缩放yScale倍，z方向缩放zScale倍后结果存放在m矩阵中。

void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m, floata xScale, float yScale, float zScale);

注意：xScale取值-1时，是围绕X轴翻转，
yScale取值-1时，是围绕Y轴翻转，
zScale取值-1时，是围绕Z轴翻转，

• 综合变化: product = a ✖ b

void m3dMatrixMultiply44(M3DMatrix44f product, const M3DMatrix44f a, const M3DMatrix44f b);

3.4 矩阵堆栈的使用 GLMatrixStack::GLMatrixStack(int iStackDepth = 64);

• 在堆栈顶部载⼊⼀个单元矩阵

void GLMatrixStack::LoadIdentity(void);

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• 在堆栈顶部载⼊任何矩阵 参数:4*4矩阵

void GLMatrixStack::LoadMatrix(const M3DMatrix44f m);

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• 矩阵乘以矩阵堆栈顶部矩阵，相乘结果存储到堆栈的顶部

void GLMatrixStack::MultMatrix(const M3DMatrix44f);

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• 获取矩阵堆栈顶部的值 GetMatrix 函数 为了适应GLShaderMananger的使用，或者获取顶部矩阵的副本
  const M3DMatrix44f & GLMatrixStack::GetMatrix(void);

void GLMatrixStack::GetMatrix(M3DMatrix44f mMatrix);

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• 将当前矩阵压入堆栈(栈顶矩阵copy一份到栈顶)

void GLMatrixStack::PushMatrix(void);

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将M3DMatrix44f 矩阵对象压入当前矩阵堆栈

void PushMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix);

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• 将GLFame 对象压入矩阵对象

void PushMatrix(GLFrame &frame);

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• 出栈(出栈指的是移除顶部的矩阵对象) void

GLMatrixStack::PopMatrix(void);

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3.5 仿射变换

//Rotate 函数angle参数是传递的度数，⽽不是弧度

void MatrixStack::Rotate(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z);
void MatrixStack::Translate(GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z);
void MatrixStack::Scale(GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z);

3.6 GLFrame

GLFrame和矩阵对应
GLFrame定义：

GLFrame
{
    protected:
        M3DVector3f vOrigin;//x 
        M3DVector3f vForward; //z
        M3DVector3f vUp; //y
}

GLFrame操作也与矩阵相似：
在矩阵堆栈中存储的是GLFrame对应的矩阵

//将堆栈的顶部压⼊任何矩阵
void GLMatrixStack::LoadMatrix(GLFrame &frame);
//矩阵乘以矩阵堆栈顶部的矩阵。相乘结果存储在堆栈的顶部 void GLMatrixStack::MultMatrix(GLFrame &frame);
//将当前的矩阵压栈
void GLMatrixStack::PushMatrix(GLFrame &frame);

照相机管理

GetCameraMatrix这个函数⽤来检索条件适合的观察者矩阵，存入第一个参数中

void GetCameraMatrix(M3DMatrix44f m,bool bRotationOnly = flase);

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注：图引自逻辑教育CC老师课件