国庆回来，继续TBA的学习，准备讲义的时候，再次复习上次的内容，有了很多新的理解。
取热力学极限的时候，一个直接的consequence就是，Bethe root成了连续的，因为所有的物理量都是Bethe root 的函数，所以我们可以理解现在在Bethe root的空间里我们有了一个态密度。我们可以这样来理解，在一般的统计力学里面，我们是在相空间里定义态密度。现在因为动量是Bethe root的函数，所以自然地我们就可以把系统的态密度定义在bethe root这个一维的空间里。有了态密度，利用统计力学的办法几乎可以得到其他一切我们想要的热力学量了。
这次是讲TBA在finite volume system里面的应用，主要有两个应用：可以求系统的基态和某些激发态。
基态
这个就用到了QFT的一个基本性质，在温度趋于0的极限下，在欧式空间里的partition function只由基态贡献。而这个欧式空间的partition function就是先在时间方向上做一个wick rotation，然后在得到的torus上面做路径积分得到。可以想象欧式的理论是定义在一个torus上，有一个time circle或者thermal circle 还有一个spatial circle。这时我们可以再做一次 “wick rotation”，把spatial circle decompatification 重新得到一个cylinder。这个cylinder和最初的cylinder的区别就是thermal circle 和spatial circle互换了。定义在个新的cylinder上的理论称为mirror theory。整个变换就是一个modular transformation。这样在之前theory里的温度趋于0的极限就变为了mirror theory里volume 趋于无穷的极限，从而可以用TBA得到partition function了，而这个mirror theory 的partition function 正好对应了之前里面的 基态。
这个modular transformation的trick 一般也称为high/low temperature duality，其实从我们这个角度出发也可以叫large/small volume duality。
但是这里我们还要注意边界条件的问题，如果我们系统遵循费米统计，那么在做路径积分的时候，还要考虑这个反对称的贡献，这样得到的partition function不是传统意义上的配分函数，而是称为 Witten index。(终于明白了之前在winter school里听的报告里讲的index了)。
激发态
对于基态我们可以用TBA来求，因为TBA包含了mirror theory的全部信息，而且mirror theory和之前的理论是通过wick rotation 联系起来的，可以想像，不可能mirror thoery只能给出原来理论的基态的信息。
所以就有了excited TBA。这个虽然概念并不一定使用所有的model，目前也只是在某些个别的理论里面可以很好的应用。
可以举一个简单的例子，比如考虑一个2能级系统，能谱依赖一个参数。
那么如果对基态的能量的里的参数做一个解析延拓，相当于让这个参数在他的复数空间转一圈，如果在这个过程中，基态能量有一个non-trival的monodromy，那么这样转一圈后得到的函数就和之前不一样了，但是同样也是系统的本征值，所以只能是激发态了。这个和berry-phase的概念有点像 了。
对于TBA我们可以做类似的解析延拓，如果有non-trival的monodromy，那么解析延拓后的TBA就定义了exited TBA。
我们需要输入的信息就是Y function的一些pole 的信息还有解析延拓轨迹的信息。
最后一点要提的是对于TBA可以有exited TBA，但是Y-system是universal 的。因为Y-system只是一个泛函方程，里面没有积分。所以Y-system本身就包含了所有state的信息，这些还是包含在 Y function的zero还有pole里面。这就和解S-matrix很像，impose crossing 和unitarity以后回到一个泛函方程，但是方程的解不是唯一的。在所有的解里面有一个含有pole 和zero最少的，这里可以认为对应了ground state TBA，然后那些含有pole 和zero的解对应了exited state TBA。
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