共读《小学数学教材中的大道理》――且读且珍惜

共读《小学数学教材中的大道理》――且读且珍惜

寒假里，我看老师们在陈洪杰编辑发起的共读打卡群学习，大家一起共读了《小学数学教材中的大道理》一书，我被大家的共读热情所感动。于是自己也试着读一读。结果，我一读书，我才发觉了读书还真是一件有趣的事情。我不仅感受到了内容丰富厚重，越读越有激情。我更加感受到了作者们的精神，越读越有热情。寻觅一寸光，那就是书籍里头的光。寻找一个点，那就是思考的点。眼看着阅读接近尾声，于是，把自己粗浅思考整理出来，与大家分享。（按照时间顺序）

读书时间：2月2日6:35

《小学数学教材中的大道理》一书呈现了话多核心概念。此书从28个话题入手，分别是关于数、文字和方程；关于除法、分数和比；关于图形与几何；关于其他。

教材比较后的思考：由上文可知，国内外教材没有将“用字母表示特定的未知数”这个内容放在“用字母表示数”的主要位置，有的甚至未编入这节课；而“认识方程”都是作为独立的学习内容呈现，且放在“字母表示数”之后展开，所以，方程的思想方法并不是本节课的重点。那用字母表示数的教学重点是什么？课标2011年版对4-6年级“用字母表示数”的基本要求是1：在具体情境中能用字母表示数；2.结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。

——p35

通读了上面的文字，作者用横向比较方法和国内外教材对比给出了思考，并且结合课标进行深入思考，作者的思考是有价值的，此书在后文给出了一个讨论分析。

代数的本质是还原和对消。比如小明的爸爸今年36岁，比小明年龄的3倍还多6岁，求小明的年龄。算术方法：小明的年龄=（36-6）÷3这是从已知的爸爸的年龄36出发，减去6，再除以3，一步步接近小明的年龄。最后得到答案是10。代数方法：设小明的年龄是x，则有方程：3x+6=36，解之得x=10。这是从未知的小明的年龄x出发，建立和已知爸爸的年龄的关系，根据关系解出未知数，即通过对消方法，将未知数还原出来。

这个例子使得我们看到，用方程和算术方法解题的思维路线往往是相反的。打一个比方：如果将要求的答案比喻为河对岸的一块宝石，那么算术方法好像摸着石头过河，从我们知道的岸边开始，一步步摸索到接近对岸的未知目标；而代数方法却不同，好像是将一根带钩子的绳子甩过河，拴住对岸的未知数（建立一种关系），然后利用这根绳子慢慢拉回来，最终获得这块宝石。两者的思维方向相反，但是结果相同。

——p43

可以看得出来，对话的形式讨论起来，让我们努力回到了更为真实的现场。观察、记录、对话、思考，每一个人都这自己的声音，努力让一个问题显现出最有价值的思考。文中的多个教学设计，给了眼前一亮的感觉。其中一则教学设计从学生一年级的看图列式，到二年级等过程中逐步让学生体会到在解决问题中理解方程，进而从与算术式对比中认识方程，初步理解意义。另外一则教学设计突出从核心价值、促进意义构建的角度来体会方程在解决问题中的价值和意义。

读了上面的文字，给我更大的触动。

触动1：有一种读书从疑惑开始

实际上，读了上面的文字，我有一种豁然开朗的感觉。因为，很多问题都是一种“心求通”的感觉，但是总是觉得是很有疑惑。关于方程的本质思考，的确是给我打开了视野。不同价值取向的教学设计，让我看到了同中有不同，不同之中也有相同。

触动2：有一种读书从突破开始

实际上，我是从课题1、2之后跳到了后面的附录阅读的，为什么做这样的一个突破，我想改变过去自己从开头读到结尾的方式，我想，附录的阅读能给我更多的宏观的思考，于是，我阅读之后，发现了诸多过程性的思考。特别是姜老师关于“从线段”开始的思考更是让我觉得思考的深刻。殷主编从编辑视角给出了系列文章的背后故事。

触动3：有一种读书从思维开始

实际上，昨儿晚上，我是用思维导图工具的，把目录的小问题罗列出来，这样整理一起，方便从系统的角度来看待整本书籍。当然，今天又把书中的触动比较大的部分用引用的方式罗列出来。目的：1是为了让我能够找到方法论指导2.是为了我能够学习一种更为形象生动的表达方式。

以上这段思考是我从2019年2月2日早上5:00阅读之后，用时1个半小时的一点思考，有许多地方还需要不断学习。

读书笔记：2019年2月3日

      柯朗说：“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑与直觉，分析和推进，个性和共性。”张奠宙教授在《小学数学教材中的大道理》话题5中讲到了多多注意数学本质的揭示，他对教材当中负数编排进行了理性评述，并且给出了引入负数不能只用温度模型，更重要的是用收入支出模型。在认识量的相反意义之后，他建议引入表示收入的情况，比如正数表示收入，负数表示支出。没有收入和没有支出表示是0。还有从三地天气来看，北京的最低气温为0°，开始结冰。今天广州的最高气温是12°（在数直线上标出0和﹢12）今天哈尔滨的最低气温是零下20°，零下用负数表示。       

        通读了张教授的文章，但是读后感慨较多。特别是关于负数的认识让我想到了数学本质精神——理性精神。 那么关于负数的教学设计又怎么样呢？ 任敏龙老师认为从减法运算封闭性引入负数是关键。张奠宙教授认为一个乐观的想法，小学数学里，除了用温度计引入负数的表示形式以外，还要增加两个要求：一是正负数的加减法则，即从数学上理解负数的部分运算特征；二是解一元一次方程，从实用上看到负数的威力。        我尝试阅读了数方夜谈里的讨论，特别关注到了标题的内容“负数概念不是从生活里来的，是由数学内部需要而产生的”

        我尝试从教学的角度来思考。

      一、情境创设——复习引入or情境创设 通过阅读相关的负数教学设计，我们看到，刘松老师2017年“认识负数”教学实践过程中，以0表示什么为问题进行提问，引导学生从0既可以表示没有，又可以表示有的两个相反的意义量。进而给出了学习一种新数的一般方法。也有的老师是创设情境，比如王彦伟老师2006年的教学是以"我爱府学"的知识竞赛成绩表，分成了三个小队和5个题目的得分情况。以笑脸表示得10分，哭脸表示扣10分，不哭不笑表示得0分。进而引导学生记录每个小队的最终得分。 事实上，通过阅读这两个教学实践过程，我发现了尽管一个是从问题驱动引入，一个是从学生的经验出发，可是它们都有其共同的地方，那就是抓住了0作为一个关键。

          二、探究方式——自学举例or描述性定义

      通过阅读相关的负数教学设计，我们看到，刘松老师2017年“认识负数”教学实践过程中，以学习小贴士来学习，任何一种新的数的学习都是遵循由外及里、由表及里、逐步加深的认知过程。进而让学生自学负数读写、启发从生活现实角度和数学内部角度来学习、最后自我解读负数的意义。也有的老师是创设情境，比如王彦伟老师2006年的教学是让学生列举实例如天气预报中的数据、电梯的负数等，更多从负数的生活现实角度来说明，给出了描述性定义：“像-3、-4，-2......就是负数，像3、8、11......都是正数。” 

      事实上，通过阅读这两个教学实践过程，我发现了它们都有其共同的地方，那就是抓住现实生活角度说明负数的情况，可喜的是，我们也看到了负数从数学内部的学习的实例，特别是刘松老师给出了列方程解决实际问题，出示：今年父亲56岁，儿子29岁，问何时父亲年龄是儿子的2倍。学生解答，答案是x=-2。这当然和巩子坤教授所总结的那样：“负数的理解必须提升到减法封闭、解方程的通法通性那样的高度去认识。”

      三、练习设计：数直线，自主感悟or生活应用

    方延明教授认为，数学是研究现实世界中的数与形之间各种模型的一门结构性科学。 可以看出，2017年刘松老师的教学实践过把温度计进行了顺时针旋转，进而发现了温度计可以看作是数学上的数直线。如此巧妙沟通了知识。关于0既不是证书也不是负数，让学生自己感悟并说理。有的学生说0是中间数。有的学生说0是分割点、分界点。还有的学生说，如果有正0，那么从0开始应该向正方向移动0格，而移动0格，就等于没动。所有还在0起点的未知上。如果有负0，同样的道理，也还是在原地没动。所有，0既不是正数、也不是负数，非常合理。王彦伟老师2006年的教学练习部分，以考眼力和生活中的问题，比如标出天气的温度，比如存折的负数、足球比赛的积分榜等。

    以上通过阅读著作，并且通读了精彩的教学实践，我们发现不管是哪一种教学实践都与其背后的教育价值不谋而合。

参考文献：

[1]张奠宙、巩子坤、任敏龙、张园、殷文娣.小学数学教材中的大道理[M].上海:上海教育出版社，2018：64-78

[2]王彦伟."生活中的负数”教学实录[J].小学青年教师数学版，2006（4）：42-43

[3]刘松."举一纲而万目张——“认识负数”教学实践”[J].小学教学数学版，2017（7-8）：61-64

读书笔记：2月4日

今天继续阅读《小学数学教材中的大道理》课题6关于教材编写要注意防止片面的思维定势。张奠宙教授提到了教材中关于“包含除”的平衡不够，他也提到了后续的学习中包含除的需求对分数除法特别强烈。引进了一些国外的例子介绍了分数除法中的颠倒相乘的法则的正确性，给出了直观图形，尤其是从面积为1的正方形揭示出为什么六分之五除以三分之一等于六分之五乘三等于二又二分之一。也是用面积大小的包含关系来说明。

这让我想到了一个关于数学价值的视频，阿瑟.本杰明演讲，这是一个TED演讲，关于为什么我们学习数学？有三个功能，计算和应用，最后一个很不幸的是，激发灵感。数学是研究规律的科学。我们通过学习数学来训练逻辑思维能力、思辨能力和创造能力，但是我们在学校学到的数学，根本没有激发我们的兴趣，当我的学生问我，我为什么学习这个，考试要考，之后还要学习。如果我们能够让学生激发灵感，这不是很棒吗？有没有这样的可能，哪怕是只有那么一会儿，我们研究数学仅仅是因为自己的兴趣，或者是数学的优美。现在，我们知道很多人，以斐波那契数列为例，我们可以从不同的角度来看斐波那契数列，可以从计算角度，可以从应用角度，还可以从欣赏角度。1,2，3,5,8......在自然界的花儿。太阳花、菠萝等都是漂亮的斐波那契数列。如果计算1,4,9,25,64，.......,如果把加起来你会发现什么？

从不同角度看一个矩形，就会得到不同的算式。一个世纪以来，我们给你看着这个，我们的知识何其的知识，请不要记住数学的价值，还能教我们思考，数学不仅教我们知识，还教我们为什么？

云自无心水自闲一句来自于白居易的《白云泉》。全文是：“天平山上白云泉，云自无心水自闲。何必奔冲山下去，更添波浪向人间。”

你以为你以为的是你以为的吗？这是我听到过的简单的一句话，今天我聆听了一节课张宏伟老师执教的课。这节课让我对这句话有了更深地理解。因此，在一边听课记录笔记，一边思索内心的情绪变化。我想说，真正的悠闲一定是来自于内心的凝练，这些凝练有来自数学的知识的本身的结构化的凝练，也有来自数学教师的教学语言的凝练，也有来自儿童的表达思考的凝练。因此，在这个满天洒满了明亮的月光，月儿非圆的一个晚上，让我沉浸在一节课当中，一种心灵的宁静，一种万物的联系，一种雪飞的思考，一种圆融的感悟，一种.......

月光如水水如天

师：你原来看到四五二十？

师：你们想到乘法和除法的问题，很多人知道了可以算加法和减法。

师：你们真了不起。

师：四五二十能解决四种运算，说明四种运算是有关系的？

悠悠闲处作奇峰

师：加法和乘法有什么关系？

生：乘法是加法的简便运算。

师：哪里简便？

生：加法要加四个五，才能得到加法。乘法需要一个算式就可以了。

师：你觉得呢？

生：加法和乘法可以交换过来。

师：听一定理解别人意思，并能够表达。

生：这两个算式可以表达相同的意思。这两个的含义一样。

师：其实，有一个诀窍，比如说四乘五就是个，反过来就是乘法。其实一个乘法算式表示两个简单的加法算式。

师：7乘8表示。

生：7个8相加，和8个7相加。

师：乘法是加法的简便运算。还有不同意见吗？没有了

师：我问你1+2+3能不能改为乘法？

不能吗？

生：因为它的数不同，不能改为乘法。

师：为什么？

生：因为1+2是先算，合起来就是3+3就是变成了两个3就是2乘3就是6.

师：别着急，刚才那个同学也有支持者。因为加数不一样。刚才同学说的对不对？

生：他们说的都对。没有改变，就是对的；如果改变了，就是对的。

师：第一个孩子是对的，第二个孩子是改变成一个相同的加数，那么乘法是什么样的加法简便运算？

第二个孩子改为了2×3，可以改为3×2，还可以改为不一样的乘法吗？

生：就是可以改为最后3把一个数放在1的上面，就是3乘2等于6，就是把3里面的一个数拿出给它，那么就是变成了2.

师：把不一样的变成一样的，就是乘法？还有什么样的呢？

生:2+5

师：用1＋2+3=6就是一个6

生：一个6

师：还有不一样的吗？

生：3放在1上面，3-1=2 2乘2等于4。

师：能不能改为一道乘法算式？

生：改为1乘6和6乘1。

师：还有想的不一样的吗？

生：我有一个办法，我们可以变成2个1,3变成3个1 ，大家看明白了吗？

师：它变成了6个1，是不是对的？

生：掌声。

师：但是先把算式变成一样的吗？

生：我觉得可以这样，把这样的看成减法，3-2=1，就是可以看出一个1，这样就可以，我就是觉得在一起

师：最后变成了什么。

生：1。

师：改变不了大小。

还有吗？

生：可以改为3加1等于4.然后4给它一个还是3，还是变成了2个3，这个都有的不算了。

师：还有吗？

2和3写成2×3×1。

师：别着急。

生：还可以这样，先把1和3加起来是4，还是分给3。

师：难道你们只能拆到1就不能往下再拆吗？

生：这个1可以变成两个0.5，

师：一共有多少个0.5？12个0.5.

你说

生：12乘0.5。

师：还能往下拆吗？

生：0.1。

师：那我们拆下去，可以把一道题改为多少种乘法算式？

原来以为一道乘法算式可以改为无数道乘法算式，可以改为相同加数的简便运算。

慢慢轻云落月光

这个世界有两种关系，一种是相近关系，一种关系是相反的关系。

师：那么我问你，你觉得乘法和除法是什么关系？

为什么？你从哪里看出来的？给大家讲一讲？

生：它们的关系是减法关系。

师：两种基本关系，一种相近关系，一种相反关系。

生：相反关系。

师：你从哪里看出来是相反的关系？

生：我从这里看出来（孩子指着板书，除号是很小的数，这两个相反。

师：加的越来越大。还有不同的想法？

生：四五二十，

师：这个孩子注意到外在形式，还有哪里看出来相反？

生：相近

师：我同意相近的

生：他们可以联系算

师：相反是不是从小算出大，从大算出小，乘法是这些东西合起来，除法了？

生：除法是分。

师：合起来和分开是什么关系？

生：我比较欣赏同学的关系，不仅有相反关系，也有相近关系，这个就是有联系，也就是乘法是除法的逆运算。

生：你看，一直加到20，这边是一直减到20.这是相反的

师：还有什么关系？

生：因为，我把加法加起来，比方我把四个五加起来，可以分开，我觉得是相近的

师：你同意他相反。

生：我觉得是相连的。

因为，它们都用到了20和4和5。

师：但是形式和意义上，表示出的是不一样的。乘法的意义是合起来，表现的基本关系是相反的。

唯解漫天作雪飞

减法和除法关系

生：减法和除法是相近关系，它们都是越算越小。

师：还有哪些地方可以看出？

生：这个可以表示，四个五和

师：我明白你的意思，20里面有几个5？

生：20除以5等于4

师：太棒了

师：在没有学习除法之前我们怎么做？

生：20减去4个5

师：可以用连减法做

生：我觉得是两个相近，这两个都是减法。

师：还可以看出？

生：都是分出来的？

师：从某种意义上看，除法比减法简便。我们研究了四个关系，还可以研究谁和谁的关系？

生：乘法和除法的关系？

师：我们已经研究完了

生：乘法和减法的关系？

师：还有谁和谁的关系？

生：加法和除法的关系？

师：你觉得加法和除法的关系？

是相近关系还是相反关系

生：我觉得是相反关系？

师：为啥？

生：加法是越加越大，除法是分，意义是相反的

生：我觉得是相近的。4个5，也是4个5，都是有联系的。

师：你也是对的。她从意义上说，加法是合起来，从哪个地方看出相反？

生：我认为相反关系

生：一直加到20，这个是知道20，反过来去求。

师：太棒了。

生：我认为这个是相近的，都是4个5.

师：因为，加法是越来越大，除法是越来越小。我们从另外角度是，加法和除法是不是一回事？

师：这种方法是推理，我们知道这样的关系。

生：乘法和加法的意思是一样的，乘法和除法的意思是相反的。加法是不肯能和除法的意思相近，而是相反的。

师：剩下最后一个，刚才研究加法和除法？你觉得乘法和减法是什么关系？

生：我觉得应该是相反的关系？

师：一个是合，一个是分。

还有从哪个角度是相反的。

生：乘法是越算越大，

师：你能不能用推理的方法说明。

师：回过头来，我们研究了6种关系，加法和乘法是什么？减法和除法是什么关系？

几个相近？几个相反？

生：乘法和除法有补充，四五二十，如果4乘5得到20，减法也得不到。

师：其实，你们这个班级孩子真了不起。其实你们的关系，如果手掌的正面和反面始终在一个吗，有一个人光有手面没有手心，后边同学说的真好，他们说的相近和相反。他们关系是除法和乘法的关系，从这个意义上面，这个求出来，这个知道的，这个都是四个五。

昨夜圆非今夜圆

师：课上到这里，你对乘法口诀的认识有改变吗？

生：一句乘法口诀可以算出加减乘除、

师：还有不一样的改变吗？

生：相近和相反的关系

师：四种运算的关系

师：原来不知道，现在知道的

生：原来不了解乘法口诀，现在了解了。一句乘法口诀可以列出8个算式。

生：我还知道了，如果非要把加法改为乘法的时候，如果不是一样的，可以改为零点几或者零点几分。

生：我知道了用推理的方法。

生：我还知道了乘法、除法、加法、减法的关系

师：他们之间有关系。

生：不同的加数不能写出乘法算式，不同加数还可以写出许多乘法算式。

师：你们会觉得四五二十，里面藏着知识很多，任何知识都永远存在不知道的知识。

咏课

静若如兰

昨夜一课非今夜，却疑此处景如荷。

加减乘除一歌诀，能得无限却有泽。

以上文字非常稚嫩，有些不完整、些许朴实，却也是我于2018年5月26日晚上学习的全部的记录与感悟，用现象学的视角解读自己的思考，回到事情本身，从我看到的课的现象反观课的本质，我更多感悟到的是一种数学的推理（相近关系与相反关系）、数学的思想（有限与无限的关系）、数学的抽象（特殊与一般的关系）。

此文完成于2018年5月26日晚11时40分。

共读时间：2月5日

今天继续研读《小学数学教材中的大道理》的课题7和课题8、9，一直都在认真的读着，其实有一个感触就是，越读就越感觉到对分数的理解不够。比如教材没有交待得不大清楚的问题，关于“分数是用于度量小于1的量”。张奠宙教授的思考是深刻的。我想，作为一线老师，我们总是对教材中的知识缺乏思考和质疑，这当然与我们自身的能力和自身的视野不足有关，这与我们对包含除的角度理解分数有关。此后我又阅读了倪国平老师谈分数和包含除关系，他指出根据张奠宙先生的观点，可以测量出具体的长度，然后用包含除的方法得到分数，例如，我们测量一节绳子的长度是12厘米，剩下绳子的长度为4厘米，我们用“12÷4”求出一节绳子包含3个“剩余长度”，那么“剩余部分”就可以用三分之一来表示。他最后指出了如何解决“对于剩余长度”的表示问题，我们可以用包含除的方法来解决，也可以用分数与除法的关系来解决。

我想：我们需要不断去问问自己，悦读越读，也就是说，在这个过程中，我自己并没有一种深刻的理解，通透地读一定要联系自己的教育教学实践，我主要是想到了自己在教学分数的初步认识，自己也参考了浙教版教材中的例题安排，进行了实践。实践之后，我以为学生对于学生的分数的理解是不局限的。因此，这样的一种实践，让我自己有一些思考，更多的思考是，教学实践之后，自己的用心不够，还是没有把教学实践的得失进行深刻的梳理，导致自己对一些问题的理解还是不到位的，因此，我想，真心用心就要勤于用心，另外，所谓的独特和独到的思维并不是与生俱来的，而是要结合自己的实践。因此，我想，我们还是要敢于和自己说“持续努力和学习。”

我想，我们对于张先生的钦佩和对同行的学习，总是以一种学习的态度。我更想，我们自己要安静坐下来，回忆自己这么多年教学分数内容，究竟是怎么教的？另外，我们参加了五年级的研讨活动。当时，我的记录“2018年4月3日我参加了董黎明名师工作室的分数研讨活动！包头师范学院的梁建业教授对两节课进行了点评，然后对老师的困惑的问题给予指导。

问题一：数学学习需求需要生活需求和数学需求！

问题二：分数初步认识的目标如何定位，不同版本教材的编排不同，分数是平均分下的新数！

问题三：基于学情下如何开放学习！

开放的学习单需要让教师开放的引导探究！

问题四：数学老师的语言严谨，背景开放下的本质作用。

五年级认识分数要达到的程度是什么？

其实是知识本质不变，研究背景发生变化。

五年级经历了从一个物体到多个物体的转变，思考，能不能做？为了多个物体的整体研究分数。那么，为什么研究了一个物体的分数，还要研究一些物体呢？比如分数的定义有两个基本含义，其中把m平均分成n份，表示其中的一份就是分数。单位“1”是整体背景下的一份度量。分数不但是十进分数，还是突破十进分数。因此，两节课要突破讲关联，单位“1”和分数单位的关联；小数和分数的关联；量和率和关系。”

阅读笔记：2月6日

小数分数联，谁先谁后想。十进意义，十分意义喜融融。分数相等性质，满眼疑惑不解，越看趣乐越无穷。狂欢初一后，寂寂读书乐。教学事，要追问，几时逢？仿佛昨日，转瞬渺渺已无踪。恨己懒于动笔，无忆旧时教学，读书且情钟。世事都过目，一勤解千愁。

――读课题11“小数容易分数难,何必死死捆绑在一起。”我记得我在教学小数这时候就特别困惑，因为我之前教学的是人教版，后来改成了北师大版。特别是北师大版教材认识小数，我记得当时为了让这个内容讲得更深刻，我还给孩子们看了一个绘本。这个绘本就是突出小数的本质。那个绘本的名字就是《格格巫的坏点子》。另外还有一件事情，我记得当时我在处理教材内容的时候就非常困惑，于是我就到知网进行搜索，当时我就搜索到《小数意义教学的重点在于位值记数与“十分”“十进”――对小数意义教材处理的讨论》。读完以后对许多问题有了一个认识，比如多教材比较小数与分数的呈现顺序，如何去生活化的引入小数的意义，对小学教学实践中具体问题的探讨，后来我又陆续下载了系列文章。复习阶段，我有意识地从个位的两侧开放，进行小数和整数的沟通，教学取得了很好的效果。

之后我下载了巩子坤教授的多篇论文，我惊叹到巩子坤教授研究深刻。之后我又遇到了《小学数学教材中的大道理》一书，我发现了这么多有价值的思考，令我惊叹不已，这么多有价值居然整理到了本书籍上面，这样真好！

其实，我今天想说的是如何从一篇文章到一本书，我发现这里面经过了专家学者和一线老师的对话，实践和反思，其实上，这是一个不断求索的过程。

越看趣乐越无穷

张奠宙教授说商店里的货物标价是学小数的常用实例。任敏龙老师说用测量引入小数可能是一个更好的选择。殷文娣老师说：“按照满十进一的原则，从个位出发，向前可以创造出无数个数位，无论多大的数都可以表示出来；向退一作十的规则从个位出发，向后也可以创造出无数个个位数，无论多小的数可以表示出来。这样一个位为中心，数位的创造实现了两侧的开放，非常圆满。”巩子坤老师讲到了袁晓萍老师的《小数的认识》的一个片段。张园老师从学生的问题开始谈起来。

以上专家和老师们的讨论非常有趣。他们围绕着小说分数的联系和不同，以问题为纽带，众不同的侧面探讨了这些问题。从读者的角度而言，我想这样的“文本，为问题而解读。”

越看问题越明晰

初读，我是从教学困惑来理解是以并联的方式。再读，有些问题可以串联思量，但是仔细一想，有没有必要把问题串联起来，显然很有必要，一个“问题”便还是概念教学的出发点，我们如何思考，思辨与追问，我们可以从教材的特定语境中进行分析，当然我们也可以从学生的理解角度来分析。

如果我们仅仅从学术的角度进行思辨，按照自己的想法进行客观的分析，教学势必会单一。如果我们仅仅从儿童思维和情感的发展进行思辨，课堂也会缺少生机和灵动。其实，我们可以看到，此书就是进行对话，从学科本身的严谨性思考，关注儿童性数学学习，我们有必要进行教材自身的解读文本能力。当然，此书正是为我们打开了一个窗口。

阅读时间：2月7日

从数学到数学，我想我多么想知道从小学数学到小学数学，一切都是小学数学，奇妙的是我把目光都给你――小学数学，直到我只是一个不懂小学数学的人。小学数学，我和你朝夕相处了十多年，我还是一个不懂小学数学的人。尽管我多么想知道，我从一页一页书籍里翻出来了，不懂还是不懂。

有一天，我走入了你的殿堂，我曾经轻视你，甚至瞧不上你。直到现在，可是我怎么越发不懂你，直到现在，我还是不懂。小学数学，在这个过年的岁月里，小学数学一直陪伴着我，我一直停在你的世界里，尽管我还是天真以为比和除可以混为一谈。我怎么也不明白为什么不可以混为一谈。冬天的黄昏，金黄色的乌云在大地飘洋，凝炼的目光注视着教材，注视着《辞海》，每一个数学的定义，美丽的定义啊，在我的眼前闪闪发光，进进退退，在这样的文字里，从面包，到甘蔗饮料，树影，矩形的思考，文字犹如滔滔江水在诺大的眼海里涌动，噢，我对自己说，比是一种关系。比还为比例做准备。

阴凉的天，如今目光落在书籍深处，我把目光深入比的深处。把我的时间献给小学数学，把紫罗兰献给午后的黄昏，我对小学数学一往情深。比和除法不同，切莫把它混一谈。分开叙述同类量和不同量，眉目清楚人不慌。

在挚爱的书上留下批语，凝视着自己，当层层揭开了比的意义面纱，从为什么入手，一行行标出学习的意义。噢，我对自己说：“从狭义到广义的比”当我读到“比表示两个变量的不变关系”，或许刹那间间懂得。或许刹那间忘记。比，必须用不变的两个量的关系。我看见了一切设计的缘由，一切设计的价值，看见了比的意义的追问。因为读书的缘故，昨日我漫步到分数的大小，让我写下我的心中的想法，而我的心明亮了起来。今天我漫步到了比的意义追问，我想一种真正的体会该是怎样的体会。

事实上，读书也可以是一首诗。读书让我渐渐被小学数学吸引，终于在那一刻留下了眼泪。读书总是能成为一首诗。在冬日的黄昏里，所有的小学数学的思考都汇成了河流，其实，但最后总是能成为一首首诗。

读书时间：2月8日

是啊，2019年2月8日，晚上12点：20，爬起来继续阅读书籍。我想，已经阅读了12个课题，是啊。阅读的确可以写出诗来。那我继续想，好吧，结合思维导图，写写吧。

念奴娇.度量衡

文\罗丽卿

心头思量，见浩瀚无垠，一脉古今。度量衡来去有痕，倾泻一碧万顷。穿越时空，对话苍穹，人在天地间。俯瞰万物，人间自有胸襟。

我藏书籍一角，轻轻翻过，预览成三人。一人徘徊停不前，不知为何意。一人跳跃，读遍此处，何用笔尖忙。一人思忖，一声狗吠惊醒。

西江月

文\罗丽卿

加法渺渺茫茫，乘法隐隐约约。心若未解一把锁，我欲彻夜难眠。可喜面积模型，惹我魂牵梦绕。解锁斜靠于窗前，不知何时天亮。

松梢月

文\罗丽卿

夜静无声。文字正、层层叠叠错落。叩问心窗，数感暖文字寒。困极不知为何分，问宇宙，苍茫大地。移目定睛大道里，胸中皆清风。

恍若身临其境，忽闻商榷声，符号意识。特定任意，疑似递进关系。目光徘徊此不前，渐坐久，踱步而出。继而坐下，闻何处，见平行。

我继续阅读着，在书籍里相遇。我愿在平行的世界里看过来，读书有悟，总是在深夜的时分，被月色绚烂。平行线涉及无限。有一种遇见，直觉经验是否代替。我喜欢读书，喜欢阅读字里行间的智慧。不管深夜在何方，我想，平行二字古今皆有。静待我读着读着，只有一种安定和缓慢的理解。我喜欢读着“我赞同张教授所说的用有限长的经验材料来说明平行线无限过程中并不十分科学的观点”。我更喜欢“本环节探究两条直线的位置关系，学生再次经历想象、操作的过程，发现原来通过‘有限’的运动方式，两条直线间的位置关系可以变动”。

席慕蓉说：“发出声音永远是有用的。”演讲完了，写个问题让大家指正。孩子们纷纷写起来，老师们很负责收集字条。我打开一张字条，一个个问题被念到了。

阅读时间：2月9日

破晓书丛现，己身听师言。

先后是问题，辩驳更有意。

若向深处了，真理皆有圆。

——读《小学数学教材中的大道理》的课题14有感

俗话讲，真理越辩越明。其实，能够提问，本身就是一种智慧的象征。我是在2019年2月9日的清晨，坐在书桌边，想着外面的天边渐渐升起一轮明日，内心充满了温暖。“破晓”点出时间，“书丛”点出地点，“现”是既是一种象征，寓意着一种明朗。因为只有身处书籍之中，我们才能去触摸智慧。“己身听师言”一句表达了我的基本观点，我就是一个听大师讲解的人。其实，我的脑海里仿佛呈现了张奠宙教授正给的我们讲解“平移和平行”二者的关系。我听得津津有味。时而频频点头，时而眉头紧皱，时而不可思议，时而若有所思。当张奠宙教授讲到了“深入浅出”，我想到了第二句“先后是问题，辩驳更有意。”为何这般，因为关于教材的编排的出发点，我们并没有去辩驳。教材的理所应当就是理所应当。我大脑里想象着这一幅幅温馨的画面，时而想到了平移下的平行，时而想到了方向下的平行，时而想到了距离下的平行。我在笔记本上摘录着张奠宙先生的话语，一边记录，一边感慨张奠宙教授的一针见血的观点。

平移和平行都是小学数学中国的几何学名词。二者之间存在内在的逻辑顺序，即先有平行，才有平移。小学数学尽管需要深入浅出，却不宜违背这一逻辑顺序。

我继续思考：张奠宙教授开门见山，直抒胸臆，直抵问题的核心。观点鲜明，意义深刻。

我的问题：张奠宙教授如何进行论证？

在这页教材上，还可能产生另外一些误解。

1.以为可以用两条线段彼此间是否为平移判断平行。但这是做不到的。事实上，判断两条线段是否平移形成，必须把平移的那个“统一方向”找出来，为了找这个方向，最后不得不依赖同位角相等的那些平行线判定定理。因此，想用平移概念来绕开平行线的严格定义和判别准则是做不到的。

2.教材的那两只铅笔是向水平方向和垂直方向平移。容易产生的错觉是，平移就是水平方向的移动，或者垂直方向的移动。这就会造成平行线都是水平或者垂直的错误印象。

3.教材呈现的平移操作只能在方格纸上向水平或垂直两个方向移动，那么要在方格纸上作45°、60°方向的移动怎么办？教材没有交代，也无法说清楚。

综上所述，用线段平移来界定相当平行，在逻辑上有误，既不能实际操作，又会带来一些误解，应予以修正改进。笔者认为，平行线教学要和方向概念联系起来，用直线的方向相同来定义直线的平行，即用直观的，相当于同位角判定准则的情境来处理。

我一边记录，一边想着，我便想到了“若向深处了，真理皆可圆”。实际上，有一种错误仿佛就是教材有错误。但是事实是这样吗？真的就如张奠宙教授提及的那样吗？后面我继续读到了用平移定义“平行”，究竟行不行的讨论，讨论过程中，任敏龙老师是从学生的经验来思考的，巩子坤教授是从历史渊源角度来思考的，张奠宙教授从学科内在逻辑思考的。行文最后，我们看到了矛盾或者对立的思考渐渐趋于和解。因为，从一开始，张奠宙教授从“奇怪”出发，点出了自己的思考，任敏龙老师继续想到了两个概念，巩子坤教授从生活中最开始接触的地方进行思考，当任敏龙老师说：“从日常生活经验和认知经验来说，从平移到平行是可以的。”张奠宙教授马上说：“我不同意。”之后巩子坤教授也认为可以从平移到平行。之后继续讨论了当逻辑框架和生活经验不能完全一致，究竟以谁为先的问题?到这个时候，他们的讨论已经从一个知识点的讨论上升到了一种方法论意义层面。显然，数学学习中，大量的逻辑框架和生活经验不能完全一致情况，这个时候到底该如何是好呢？

我想到：

1.课程内容的选择究竟是以知识为载体还是以学生为载体，更或者更为通俗讲，我们是以学科为逻辑顺序还是以学生的认知发展为逻辑顺序，这显然是需要协调和平衡的。

2.课程内容的选择的价值标准在哪里？从过去的培养育人价值到今天的核心素养培养，特别是学生的关键品格和必备能力的角度来看，究竟什么是更为关注的地方？

3.有限和无限的感知过程，小学数学中是比较多见的。比如自然数是无限多的，直线是无限长的，循环小数是无限多个循环节的。当然，张奠宙先生从线段到线段的平移来思考平行的关系，显然是正确的。也就是说，不能用线段平移来讲平行，那其他的书籍是如何讲的呢？我是带着问题继续前行。

阅读时间：2月10日

卜算子

文\罗丽卿

几度数对守，晨起共先知。今日又忆昨日否，点点成梦移。

时空浑依旧。人却不同昔。欲问今朝有何意，低头见影逸。

今天，继续阅读了《小学数学教材中的大道理》关于课题15，一切有序的数对应一个方块，还是对应一个点。亲切的话语，有力的思考，一下子我把我带入了18年校内两位老师的同课异构，当时我们课后对于两位老师的课堂的研讨。我们当时就针对人教版和北师大版不同的编排的一个思考。最后，我们都觉得从教室的座位图直接抽象成一个点，学生理解挺好。为什么 一定要先对应一个方块呢？因为，学生能理解。每日都要充电，读书是一种智慧的艺术。读书是需要实践的。再读这个内容，所有的实践一下子成了昨天的梦。

读书的味道就是让我靠近真理，再接近一点。我感觉快乐极了。张奠宙教授的思考是富有现实性的。罗永军老师的思考是富有历史性和课堂感的。罗老师从不同教材有序数对对应“方块”还是对应“点”。对4个版本教材的梳理证实了张先生的观点。从上海版教材景点图思考，正是恰如清晨的一缕缕阳光温暖般，在“无”和“有”之间我们找到了一个很好的例子。

长假里的我们，向往着安静读书，期盼从假日里能从书籍里找到灵感。是什么让我如此喜欢读书呢？

1.为了什么呢？我自觉自愿喜欢。这一次，我从此处还需要思量。我读着书，就是一切了。我固执己见，我身处一线，这一切让我开阔视野，以一种责任感和反思力张扬起对小学教育的胸怀。这个时候，让我们读读一课课吧！

2.为了什么呢？我常常在读书里想到了昨日的温情。彼此之间找到了自己的落脚点。读书让我亲近。读书是温暖我的。读书是需要深度，读书正是一种无限的旅行接近你们――伟大而又渺小的灵魂。

3.为了什么呢？我是一个喜欢蜷缩的人。我总有种蜗牛一样的硬壳。像蜗牛一样缓慢前行的人。我的生存方式极其简单，面对一个个课题，我想到了“真实”。罗老师的2014年真实聆听了一节课，让我这个蜗牛渐渐醒过来。王逸卿老师从观察点的位置，看到这些点，你想到了什么？（直线）如果现在要用一个数对尝试这条直线上的任意一个点，你有办法吗？接下来，王老师让学生思考（x,5）的形式，（6，y）的形式，罗老师总结：“王老师的课围绕着确定点的位置，从有序的整数对迁移到代数数对表示，将点的运动了起来，让学生充分体会到有序数对的学习价值。”罗老师的总结让我看到了读书的思考过程，他一边讲着，一边思考着，一边总结着。读着他的行文，恰似和他聊天一般。他的行文自然流畅，以一个个问题的解决过程展开论述，一点点引领着。他有着自己的独立思考，他会找到教材加以印证，找到课堂的例子加以求证。

阅读时间：2月11日

叔本华说：“一个人越有思想，乐趣就越多。乐趣总是涉及个人力量的所用。感觉的能力是必须依赖思想。其自身就有乐趣之源，有价值的思考。只有他们能透彻了解到伟大的杰作，只有她感觉到他们的吸引，或一知半解或道听途说。那就是对阅读、观察、冥想和实践的遐想。没有真正的需求就没有真正的乐趣。实际上，日常生活只是获得精神生活的渠道。对于聪明的人，会对精神的追求放在内在。”每天持续阅读《小学数学教材中的大道理》就是触摸伟大思想的过程。

鹧鸪天.面积

文/罗丽卿

缤纷测量一点祥，驻足本质自觉忙。

单位覆盖有限加，贯通知识始有香。

线动面，面动体，多彩思考衔接强。

欲知学生怎思量，数学创造醒众芳。

阅读了关于面积部分的思考，我还是不清楚。读了一读，于是又找来了严虹老师的著作，我越来越多拼命去读，我的回答是，反复从书籍到书籍。

新课程强调要通过有效的数学活动来引导学生经历概念的形成过程，这六套教材都通过比较的数学活动来引导学生学习面积的意义。如人教版教材安排比较教室中的黑板和电视机的屏幕哪个大？数学课本和练习本的封面哪个小？苏教版教材引导学生观察黑板的表面和课本的封面，哪个面积大？哪个面积小？……从能直觉的比较大小比较，到不能直接比较出大小，进而教材引导出当不能直接比较出大小时，用重叠的方法来比较。除了西师版教材以外，其他五套教材安排重叠比较的过程。这个比较的意义在于让学生体会单位正方形来量化得出面积的必要性。

无论读什么书，都想到下一本书。从小学教学数学中的大道理都想到了《面积、体积和概念与单位教学研究》，比起只是从一本书中到一本书，拼命地读书吧。

作为老师，正是知道读书的兴趣，不如享受读书，秘诀在于读书要安静，思考要深入。

我们要问：小学数学你是不是能给面积和体积下一个严格的数学定义？

【面积】数m是一个平面图形A的面积，就是指能用m个单位正方形不重叠地恰好填满A。通过简单的数学活动，小学生可以得到

重复认识：单位正方形的面积是1

若长方形的长和宽分别是整数a和b，则它的面积m=ab

若长方形的长和宽分别是有限小数a和b，则它的面积是m=ab

接着研究，长和宽分别为无限小数a和b，这里涉及到极限方法处理，m=ab

后面文章中写到了张园老师从实践角度提及的学生在周长和面积的题目经常会混淆。学生往往看大的是一维的，所以做题目的时候周长和面积经常会搞混。真正的问题是对面积和概念的理解和对面的二维的概念的建立不到位。

严虹老师从著作中提及的是1992年，吴正宪老师在执教《面积的认识》一课，新课开始的第六个环节是比较周长和面积。学生动手摸一摸物体的面积和物体面的周长，体会“面积好像一大片，周长好像一条线。”学生体会到黑板前面分别画出小房子的周长和面积，进一步体会周长和面积不同。周玉仁主编的《课堂教学艺术集萃》艺术中提到了，李家骏老师执教的《面积的意义》一课，安排的练习题目有比较周长和比较面积。钱希有老师在1998年执教的时候，用了照片框，如果框用木条钉成，这一周的木条长是它的什么？老师说如果给照片框配上一面玻璃，按照玻璃的什么来计算付多少钱？

泰戈尔说：“世界之大，时光易逝，我却无处安放这温柔。”我想，如果没有读一段段文字，我也不会惊叹昨日的设计如此精彩。为何之后我们也看到了周长和面积的概念的对比的过程。

2018年11月27日，我聆听了汪竹倩老师执教的《周长》一课。我印象非常深刻。今天我把我自己的收获和感悟记录下来。2018年12月2日晚上0：19分继续聆听，我又有了新的思考。

这节课，教师遵循了数学学习的规律，遵循的儿童心理的发展规律，遵循了数学课堂的基本规律。在深化对周长概念理解的过程当中，起点是比较低的，过程也是非常深刻的。活动也是有层次。下面从教师设计练习题角度来看一下课堂的开放，让开放成为一种姿态。当然，这个过程中，教师以丰富练习题的内涵，变换练习题的层次为切入点，让习题的教学过程增厚。

从面积的阅读想到了周长的教学。在阅读漫长的旅程中，我们延伸着对过去每一次的学习的回忆。我们常常把一本本书联想起来，在安静的午后，生活里的每一点收获都是有价值的。读书的快乐可能就是不停地让心变得平和。我懂得了，读书是一场修行。

阅读时间：2月15日

今天继续阅读了课题21理清概念之间的联系。

一个不容回避的概念联结是直线与线段的关系。我们将线段向两端无限延长之后称之为直线。但是无限过程是人的经验所不能达到的。人们能够感知的只是有限线段。这就是说，直线是小学数学领域里遇到的超经验的概念。

线段和直线的一致性为许多教材所忽略。例如，各版本教材都定义过两条直线的平行，却没有定义过线段的平行。教材里应该加一句，两条线段互相垂直或平行，这两条线段所在的直线互相垂直或平行，这样一来线段a、b平行和直线a、b平行都统一起来。这并不费事，也不难懂，可是有些教材里往往自说自话，不清不楚。

我们的问题是为什么出现线段之后就立刻介绍线段的度量，而在角的定义出现之后不能立刻出现角的度量内容呢？前面提及，角的度量是几何学的基础，需要尽量提前。更因为学生手里有三角板和量角器，实有参照学习起来就比较容易。

一旦有了线段和线段的度量，以及角和角的度量，以后的小学几何学内容都有了可靠的度量基础。

启示一：教学从线段――射线――直线的逻辑顺序是合理的；符合儿童的认知发展规律；结合体验性的学习感受直线平行和线段平行的一致性

启示二：如果仅仅从知识逻辑顺序来考量，但是现状是先学习直角，锐角，钝角然后去学习角的度量，是不是说从特殊到一般的过程，更或者是应该从一般到特殊，哪一种更符合学生的实际呢？

启示三：融会贯通知识发生起点

共读《小学数学教材中的大道理》――且读且珍惜

阅读时间：2月16日

通往定义的本质，角的定义最好怎么样？为何我想到这个标题，当然是受到了课题22角度定义最好不要用射线。我当时想，《小学数学教材中的大道理》提到了用射线定义角，华而不实，弊多利少。我想，弊是哪些呢？

用射线定义角，为何不取？理由如下：1.射线是画不出来的，只存在于想象之中。2射线在数学上不重要。3.当教材红色粗体字给出角的定义之后，理应对二年级角的认识进行新加工，将那里的角的顶点都加粗，形成角的线段都改成角的射线才是。4.角的定义之后再未有正面引用――p306

角可以看成线段绕它的某个端点旋转所形成的图形。开口大，就是角大。

可以看出，张奠宙教授给出来了静态下定义：从射线定义的不好，改变成了线段定义。另外一个从动态下的定义。

我静静躺在床上，仔细阅读并且思考究竟怎么样更好。我想到了定义本身。实际上，不管是哪一种定义，怎么样接近角的定义的本质，怎么样的定义就是好的。那么，究竟怎么样才算是接近角的本质呢？其实，顾此失彼，我们需要思考，“此”为何以？“彼”为何以？张奠宙教授是从画得出或者是直观表示表明了射线定义不合理，进而改为线段定义。后文分析讨论中，论述了并非射线定义就真不好。也有合理之处。我想，如何思辨？

（一）内容：当下和长远的思辨

从儿童学习的终身受益角度，无限的理解的确困难，但是我觉得什么是好的理解？不能说射线画不出来，就不能定义，我觉得也并不妥当。儿童对定义的理解也是感觉为大，概念为小。儿童也是多次感知之后去理解的。我想，线段定义具有和射线定义一致性。先有线段定义，既而过渡到线段定义，如果线段定义就是结束，我觉得还是早了。

（二）标题：否定和肯定的思辨

标题是什么，标题从“角的定义最好不用射线”，给人感觉是否定描述。它就是从冷眼相待的角度来说。如果说“角的定义最好用什么”就是从正面来回答角的定义。否定定义不好在于排他性。它们之间就是排除关系，而不是延伸关系。有了射线就不能用“线段”。其实回忆平行定义，定义为平移后平行还是距离的平行。两条直线位置关系，难道我们就能画出两条直线，落到纸上还不是两条线段。那么，这个地方怎么不改成“两条线段的位置关系。”

阅读时间：2 月17日

今天我继续阅读《小学数学教材中的大道理》的课题里头找到适合儿童年龄特征和避免数学差错。张奠宙教授对教材中的找规律提出了自己的思考。他提出了观点：1.教材中的“应”改为“会”合适2.标题建议改为“创造规律”。

思考：数学教育的价值

张奠宙教授说：“找规律”指向了答案的唯一性。“创造规律”指向了答案的多样性。其实，正是由于数学教育的价值。如果如此去考虑，那么就是多样化和唯一性的考虑。

如果“找规律”通往了答案的唯一性。“创造规律”通往了答案的多样性。这里其实就是思考“无限”的思考，其实，我们来看一本《数学好玩》的数学绘本。

这个绘本故事实际上解释了规律，并没有创造规律。这个过程以“……”的过程来揭示了规律本身。也就是说，这个过程就是不停地感受到了……的意义，我想到了它并没有去找规律或者创造规律，而是说规律本身。它其实是揭示了规律。