数学笔记：实数

作者: khaos | 来源:发表于2020-01-05 13:15 被阅读0次

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(I)乘法公理

定义一个映射（加法运算） $+:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ 即对任意的 $x, y \in \mathbb{R}$ 有一个元素 $x + y \in \mathbb{R}$ 与之对应，称 $x + y$ 为 $x, y$ 之和，且此映射满足以下条件：

1.中性元素0（在加法中称为零元素或者零）存在，并且对于任何 $0 \in \mathbb{R}$ ， $x + 0 = 0 + x = x$
2.对于任何元素 $x \in \mathbb{R}$ ，元素 $-x \in \mathbb{R}$ 存在，称为 $x$ 的相反元素，它满足 $x + (-x) = (-x) + x = 0$
3.运算 $+$ 满足结合律，即 $\mathbb{R}$ 的任何元素 $x,y,z$ 满足
$x+(y+z)=(x+y)+z$
4.运算 $+$ 满足交换律，即 $\mathbb{R}$ 的任何元素 $x,y$ 满足
$x+y=y+x$

若在任何集 $G$ 上存在满足上述公理中的1.2.3.的一个运算，就说在 $G$ 上给定了一个群结构，也称 $G$ 是一个群。若还满足公理4.，则称 $G$ 是交换群（或阿贝尔群）。

(Ⅱ)乘法公理

定义一个映射（乘法运算） $\cdot:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \Rightarrow \mathbb{R}$ ,使得 $\mathbb{R}$ 中元素 $x,y$ 的每个序偶 $(x,y)$ 与某元素 $x \cdot y \in \mathbb{R}$ 想对应，后者称为 $x$ 与 $y$ 的积，并且以下条件成立:

1.中性元素 $1 \in \mathbb{R} \not= 0$ (在乘法中称为单元元素或者一)存在，并且任何 $x \in \mathbb{R}$ ，
$x \cdot 1 = 1 \cdot x = x$
2.对于任何元素 $x \in \mathbb{R} \not= 0$ ，元素 $x^{-1} \in \mathbb{R}$ 存在，称为 $x$ 的逆元素，它满足：
$x \cdot x^{-1} = x^{-1}\cdot x = 1$
3.元素 $\cdot$ 满足结合律，即 $\mathbb{R}$ 的任何元素 $x,y,z$ 满足：
$x \cdot(y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$
4.元素 $\cdot$ 满足交换律，即 $\mathbb{R}$ 的任何元素 $x,y$ 满足：
$x \cdot y = y \cdot x$

(I,Ⅱ)加法和乘法联系

乘法对加法具有分配性，即对任意 $x,y,z$ ，有：
$(x+y)\cdot x = x \cdot z + y \cdot z$

(Ⅲ)序公理

$\mathbb{R}$ 的元素间有关系 $\leq$ ，即对 $\mathbb{R}$ 的元素 $x,y$ 或满足 $x \leq y$ 或不满足。且满足以下条件:

1. $\forall x \in \mathbb{R}(x \leq x)$
1. $(x \leq y) \wedge (y \leq x) \Rightarrow (x = y)$
1. $(x \leq y) \wedge (y \leq z) \Rightarrow (x \leq z)$
1. $\forall x \in \mathbb{R} \forall y \in \mathbb{R}(x \leq y) \vee (y \leq x)$

若某集合中的元素满足1.2.3.的关系，就称该集合为偏序集。若又满足4.，则称为线性序集。

(Ⅰ,Ⅲ) $\mathbb{R}$ 中的加法与序关系的联系

$\forall x,y,z \in \mathbb{R},(x \leq y) \Rightarrow (x + z \leq y + z)$

(Ⅱ, Ⅲ) $\mathbb{R}$ 中的乘法与序关系的联系

$\forall x,y,z \in \mathbb{R},(0 \leq x) \wedge(0 \leq y) \Rightarrow (0 \leq x \cdot y)$

(Ⅳ)完备公理

如果 $X$ 与 $Y$ 是 $\mathbb{R}$ 的非空子集，且具有性质：对于任何 $x \in X, y \in Y$ 有 $x \leq y$ ，那么存在 $c \in \mathbb{R}$ ，使对任何 $x \in X, y \in Y$ 有 $x \leq c \leq y$ 。

<font color=red><b>满足上述这些公理的任何集合 $\mathbb{R}$ 是实数的一种表示，即实数模型。</b></font>

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