欧拉公式

作者: 摇摆苏丹 | 来源:发表于2021-01-28 06:37 被阅读0次

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表述

如果 $gcd(a,m)=1$ ，则：
$a^{\phi(m)} \equiv 1 \ (mod \ m)$
其中 $\phi(m)$ 为关于 $m$ 的函数，表示小于等于 $m$ ，且与 $m$ 互素的正整数的数量。显然，如果 $m$ 是素数， $\phi(m)=m-1$ 成立。

证明

首先，如果要找到符合条件的 $\phi(m)$ ，必有 $gcd(a,m)=1$ 。假设 $a^k \equiv 1 \ (mod \ m)$ ，则对于某个整数 $y$ ， $a^k - my = 1$ 成立。又 $gcd(a,m) \mid a,m$ ，因此 $gcd(a,m) \mid a^k - my \to gcd(a,m) \mid 1$ ，也就是公式中的前提。

在证明费马小定理前，已经证明过这样的引理：如果 $gcd(a,m)=1$ ，序列 $A=b_1a,b_2a,\cdots,b_{\phi(m)}a$ 等于序列 $B=b_1,b_2,\cdots,b_{\phi(m)}$ ，在忽略序列中各项的顺序以及模 $m$ 的意义下成立。于是就有：
$a^{\phi(m)}(b_1b_2 \cdots b_{\phi(m)}) \equiv (b_1b_2 \cdots b_{\phi(m)}) \ (mod \ m)$
又 $b_i$ 与 $m$ 互素，因此根据同余式的除法性质可以得到：
$a^{\phi(m)} \equiv 1 \ (mod \ m)$
欧拉公式得证。

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