面向初学者的立体几何真题：选自2014至2018年间各省的文数考

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-05-30 20:13 被阅读0次

面向初学者的立体几何真题：选自2014至2018年间各省的文数考
国考综合每日一题2020.3.23
国考综合每日一题2020.3.24
国考综合每日一题2020.3.25
国考综合每日一题2020.3.28
国考综合每日一题2020.3.29
国考综合每日一题2020.3.26
国考综合每日一题2020.3.27
2021一级建造师《法规》施工文物保护制度
2021一级建造师《法规》施工现场环境保护制度

本文从2014至2018年间各省自主命题的文科数学考卷中收录了48个立体几何大题。这批题难度不高，模型多样，比较适合立体几何的初学者练手。

第0组：多面体入门

本组收录3个题

2015年四川卷题18

18.（本小题满分 12 分）

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

（Ⅰ）请将字母 $F,G,H$ 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）;

（Ⅱ）判断平面 $BEG$ 与平面 $ACH$ 的位置关系，并证明你的结论;

（Ⅲ）证明∶直线 $DF \perp$ 平面 $BEG$ .

2015年四川卷题18

2016年文数上海卷题16

16.如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为 $BC$ 、 $BB_1$ 的中点，则下列直线中与直线 $EF$ 相交的是

（A）直线 $AA_1$

（B）直线 $A_1B_1$

（C）直线 $A_1D_1$

（D）直线 $B_1C_1$

image.png

2014年文数湖北卷题20

20.（本小题满分 13 分）

如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中， $E,F,P,Q,M,N$ 分别是棱 $AB,AD,DD_1,BB_1,A_1B_1,A_1D_1$ 的中点. 求证：

（I）直线 $BC_1//$ 平面 $EFPQ$ ;

（Ⅱ）直线 $AC_1 \perp$ 平面 $PQMN$ .

2014年文数湖北卷题20

第1组：四面体

本组收录9个题

2015年北京卷题18

（18）（本小题14 分）

如图，在三棱锥 $V-ABC$ 中，平面 $VAB \perp$ 平面 $ABC$ ， $\triangle VAB$ 为等边三角形， $AC \perp BC$ 且 $AC= BC=2$ ， $O,M$ 分别为 $AB$ ， $VA$ 的中点.

（I）求证： $VB//$ 平面 $MOC$ ;

（Ⅱ）求证：平面 $MOC \perp$ 平面 $WAB$ ;

（Ⅲ）求三棱锥 $V-ABC$ 的体积.

2015年北京卷题18

2017年文数江苏卷题15

15.（本小题满分14 分）

如图，在三棱锥 $A-BCD$ 中， $AB \perp AD$ ， $BC \perp BD$ ，平面 $ABD \perp$ 平面 $BCD$ ，点 $E,F$ （ $E$ 与 $A,D$ 不重合）分别在棱 $AD,BD$ 上，且 $EF \perp AD$ . 求证∶

（1） $EF//$ 平面 $ABC$ ;

（2） $AD \perp AC$ .

2017年文数江苏卷题15

2017年文数北京卷题18

（18）（本小题14 分）

如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中， $PA \perp AB$ ， $PA \perp BC$ ， $AB \perp BC$ ， $PA=AB=BC=2$ ， $D$ 为线段 $AC$ 的中点， $E$ 为线段 $PC$ 上一点.

（Ⅰ）求证∶ $PA \perp BD$ ;

（Ⅱ）求证∶平面 $BDE \perp$ 平面 $PAC$ ;

（Ⅲ）当 $PA//$ 平面 $BDE$ 时，求三棱锥 $E-BCD$ 的体积.

2017年文数北京卷题18

2015年安徽卷题19

（19）（本小题满分13分）

如图，三棱锥 $P-ABC$ 中， $PA \perp$ 平面 $ABC$ ， $PA=1$ ， $AB= 1$ , $AC=2$ , $\angle BAC=60°$ .

（Ⅰ）求三棱锥 $P-ABC$ 的体积;

（Ⅱ）证明∶在线段 $PC$ 上存在点 $M$ ，使得 $AC \perp BM$ ，并求 $\dfrac{PM}{MC}$ 的值.

2015年安徽卷题19

2014年文数福建卷题19

19.（本小题满分12 分）

如图，三棱锥 $A-BCD$ 中， $AB\perp$ 平面 $ABCD$ , $CD\perp BD$ .

（I）求证： $CD\perp$ 平面 $ABD$ ;

（Ⅱ）若 $AB=BD=CD=1$ ， $M$ 为 $AD$ 中点，求三棱锥 $A- MBC$ 的体积.

2014年文数福建卷题19

2014年文数江苏卷题16

16.（本小题满分 14 分）

如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中， $D,E,F$ 分别为棱 $PC,AC,AB$ 的中点. 已知 $PA \perp AC$ ， $PA=6,BC=8,DF=5$ .

求证∶

（1）直线 $PA//$ 平面 $DEF$ ;

（2）平面 $BDE\perp$ 平面 $ABC$ .

2014年文数江苏卷题16

2018年文数天津卷题17

（17）（本小题满分 13分）

如图，在四面体 $ABCD$ 中， $\triangle ABC$ 是等边三角形，平面 $ABC \perp$ 平面 $ABD$ ，点 $M$ 为棱 $AB$ 的中点， $AB=2$ ， $AD=2\sqrt{3}$ , $\angle BAD=90°$

（I）求证∶ $AD \perp BC$ ;

（Ⅱ）求异面直线 $BC$ 与 $MD$ 所成角的余弦值;

（Ⅲ）求直线 $CD$ 与平面 $ABD$ 所成角的正弦值.

2018年文数天津卷题17

2015年重庆卷题20

（20）（本小题满分12分，（I）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

如图，三棱锥 $P- ABC$ 中，平面 $PAC \perp$ 平面 $ABC$ ， $\angle ABC=\dfrac{\pi}{2}$ ，点 $D,E$ 在线段 $AC$ 上，且 $AD=DE = EC =2$ ， $PD = PC=4$ ，点 $F$ 在线段 $AB$ 上，且 $EF//BC$ .

（Ⅰ）证明∶ $AB \perp$ 平面 $PFE$ ;

（Ⅱ）若四棱锥 $P-DFBC$ 的体积为 $7$ ，求线段 $BC$ 的长.

2015年重庆卷题20

2014年文数辽宁卷题19

（19）（本小题满分12 分）

如图， $\triangle ABC$ 和 $\triangle BCD$ 所在平面互相垂直，且 $AB=BC=BD=2$ , $\angle ABC=\angle DBC=120°$ , $E,F, G$ 分别为 $AC,DC,AD$ 的中点.

（I）求证∶ $EF \perp$ 平面 $BCG$ ;

（Ⅱ）求三棱锥 $D- BCG$ 的体积.

附∶锥体的体积公式 $V= \dfrac{1}{3} Sh$ ，其中 $S$ 为底面面积， $h$ 为高.

2014年文数辽宁卷题19

第2组：四棱锥

本组收录14个题

2015年湖北卷题20

20.（本小题满分 13 分）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马 $P-ABCD$ 中，侧棱 $PD \perp$ 底面 $ABCD$ ，且 $PD= CD$ ，点 $E$ 是 $PC$ 的中点，连接 $DE,BD,BE$ .

（I）证明∶ $DE \perp$ 平面 $PBC$ . 试判断四面体 $EBCD$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）; 若不是，请说明理由;

（Ⅱ）记阳马 $P-ABCD$ 的体积为 $V_1$ ，四面体 $EBCD$ 的体积为 $V_2$ ，求 $\dfrac{V_1}{V_2}$ 的值，

2015年湖北卷题20

2016年文数北京卷题18

（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PC \perp$ 平面 $ABCD$ ， $AB// DC$ , $DC \perp AC$ .

（I）求证∶ $DC\perp$ 平面 $PAC$ ;

（Ⅱ）求证：平面 $PAB \perp$ 平面 $PAC$ ;

（Ⅲ）设点 $E$ 为 $AB$ 的中点.在棱 $PB$ 上是否存在点 $F$ ，使得 $PA//$ 平面 $CEF$ ? 说明理由.

image.png

2014年文数安徽卷题19

（19）（本小题满分 13 分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 的底面是边长为 $8$ 的正方形，四条侧棱长均为 $2\sqrt{17}$ . 点 $G,E,F,H$ 分别是棱 $PB,AB,CD,PC$ 上共面的四点，平面 $GEFH \perp$ 平面 $ABCD$ ， $BC//$ 平面 $GEFH$ .

（Ⅰ）证明∶ $GH//EF$ ;

（Ⅱ）若 $EB=2$ ，求四边形 $CEFH$ 的面积

2014年文数安徽卷题19

2014年文数天津卷题17

（17）（本小题满分13 分）

如图，四棱锥 $P- ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是平行四边形， $BA= BD = \sqrt{2}$ ， $AD=2$ ， $PA=PD=\sqrt{5}$ ， $E,F$ 分别

是棱 $AD,PC$ 的中点.

（I）证明 $EF//$ 平面 $PAB$ ;

（Ⅱ）若二面角 $P-AD-B$ 为 $60°$ ，

$\qquad$ ①证明平面 $PBC\perp$ 平面 $ABCD$ ;

$\qquad$ ②求直线 $EF$ 与平面 $PBC$ 所成角的正弦值.

2014年文数天津卷题17

2017年文数天津卷题17

（17）（本小题满分 13 分）

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $AD \perp$ 平面 $PDC$ ， $AD//BC$ , $PD \perp PB$ , $AD=1,BC=3,CD=4,PD=2$ .

（I）求异面直线 $AP$ 与 $BC$ 所成角的余弦值;

（Ⅱ）求证∶ $PD \perp$ 平面 $PBC$ ;

（Ⅲ）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.

2017年文数天津卷题17

2018年文数北京卷题18

（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$ ， $PA \perp PD$ ， $PA=PD$ ， $E,F$ 分别为 $AD, PB$ 的中点.

（Ⅰ）求证∶ $PE \perp BC$ ;

（Ⅱ）求证∶平面 $PAB \perp$ 平面 $PCD$ ;

（Ⅲ）求证∶ $EF//$ 平面 $PCD$ .

2018年文数北京卷题18

2014年文数山东卷题18

（18）（本小题满分12 分）

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中， $AP\perp$ 平面 $PCD$ ， $AD//BC$ ， $AB=BC=\dfrac{1}{2}AD$ ， $E,F$ 分别为线段

$AD,PC$ 的中点.

（I）求证： $AP//$ 平面 $BEF$ ;

（Ⅱ）求证： $BE \perp$ 平面 $PAC$ .

2014年文数山东卷题18

2017年文数浙江卷题19

19.（本题满分 15分）

如图，已知四棱锥 $P-ABCD$ ， $\triangle PAD$ 是以 $AD$ 为斜边的等腰直角三角形， $BC//AD$ ， $CD \perp AD$ ， $PC=AD=2DC=2CB$ , $E$ 为 $PD$ 的中点.

（Ⅰ）证明∶ $CE//$ 平面 $PAB$ ;

（Ⅱ）求直线 $CE$ 与平面 $PBC$ 所成角的正弦值.

2017年文数浙江卷题19

2015年广东卷题18

18.（本小题满分14 分）

如图3，三角形 $PDC$ 所在的平面与长方形 $ABCD$ 所在的平面垂直， $PD= PC=4$ , $AB=6,BC=3$ .

（1）证明： $BC//$ 平面 $PDA$ ;

（2）证明： $BC\perp PD$ ;

（3）求点 $C$ 到平面 $PDA$ 的距离.

2015年广东卷题18

2014年文数重庆卷题20

（20）（本小题满分12分，（I）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

如图，四棱锥 $P- ABCD$ 中，底面是以 $O$ 为中心的菱形， $PO \perp$ 底面 $ABCD$ , $AB=2$ , $\angle BAD=\dfrac{\pi}{3}$ ,

$M$ 为 $BC$ 上一点，且 $BM=\dfrac{1}{2}$ .

（Ⅰ）证明： $BC\perp$ 平面 $POM$ ;

（Ⅱ）若 $MP \perp AP$ ，求四棱锥 $P-ABMO$ 的体积.

2014年文数重庆卷题20

2015年陕西卷题18

18.（本小题满分12分）

如图1，在直角梯形 $ABCD$ 中， $AD//BC$ ， $\angle BAD=\dfrac{\pi}{2}$ ， $AB=BC=\dfrac{1}{2} AD=a$ ， $E$ 是 $AD$ 的中点， $O$ 是 $AC$ 与 $BE$ 的交点. 将 $\triangle ABE$ 沿 $BE$ 折起到图2中 $\triangle A_1 BE$ 的位置，得到四棱锥 $A_1-BCDE$ .

（Ⅰ）证明∶ $CD \perp$ 平面 $A_1OC$ ;

（Ⅱ）当平面 $A_1BE \perp$ 平面 $BCDE$ 时，四棱锥 $A_1-BCDE$ 的体积为 $36\sqrt{2}$ ，求 $a$ 的值.

2015年陕西卷题18

2014年文数浙江卷题20

20.（本题满分 15分）

如图，在四棱锥 $A-BCDE$ 中，平面 $ABC\perp$ 平面 $BCDE$ ， $\angle CDE=\angle BED=90°$ , $AB = CD = 2$ , $DE = BE = 1$ , $AC=\sqrt{2}$ .

（Ⅰ）证明∶ $AC\perp$ 平面 $BCDE$ ;

（Ⅱ）求直线 $AE$ 与平面 $ABC$ 所成的角的正切值.

2014年文数浙江卷题20

2016年文数四川卷题17

17.（本小题满分 12 分）

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PA \perp CD$ ， $AD//BC$ ， $\angle ADC=\angle PAB =90°$ , $BC= CD=\dfrac{1}{2} AD$ .

（Ⅰ）在平面 $PAD$ 内找一点 $M$ ，使得直线 $CM//$ 平面 $PAB$ ，并说明理由;

（Ⅱ）证明∶平面 $PAB \perp$ 平面 $PBD$ .

image.png

2014年文数广东卷题18

18.（本小题满分13 分）

如图2，四边形 $ABCD$ 为矩形， $PD \perp$ 平面 $ABCD$ ， $AB=1$ ， $BC=PC=2$ . 作如图3折叠; 折痕 $EF//DC$ ，其中点 $E,F$ 分别在线段 $PD,PC$ 上，沿 $EF$ 折叠后点 $P$ 叠在线段 $AD$ 上的点记为 $M$ ，并且 $MF \perp CF$ .

（1）证明∶ $CF \perp$ 平面 $MDF$ ;

（2）求三棱锥 $M-CDE$ 的体积.

2014年文数广东卷题18

第3组：棱柱与棱台、六面体

本组收录10个题

2016年文数江苏卷题16

16.（本小题满分 14 分）

如图，在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中 $D,E$ 分别为 $AB,BC$ 的中点，点 $F$ 在侧棱 $B_1B$ 上，且 $B_1D \perp A_1F$ ， $A_1C_1 \perp A_1B_1$ .

求证∶

（1）直线 $DE//$ 平面 $A_1C_1F$ ;

（2）平面 $B_1DE \perp$ 平面 $A_1C_1F$ .

image.png

2015年山东卷题18

（18）（本小题满分12分）

如图，三棱台 $DEF-ABC$ 中 $AB=2DE$ ， $G,H$ 分别为 $AC,BC$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $BD//$ 平面 $FGH$ ;

（Ⅱ）若 $CF \perp BC,AB \perp BC$ ，求证：平面 $BCD\perp$ 平面 $ECH$ .

2015年山东卷题18

2015年江苏卷题16

16.（本小题满分 14 分）

如图，在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，已知 $AC \perp BC$ ， $BC= CC_1$ . 设 $AB_1$ 的中点为 $D$ ， $B_1C \cap BC_1=E$ .求证∶

（1） $DE//$ 平面 $AA_1C_1C$ ;

（2） $BC_1 \perp AB_1$ .

2015年江苏卷题16

2017年文数上海卷题17

17.（本题满分14 分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，直三棱柱 $ABC- A_1B_1C_1$ 的底面为直角三角形，两直角边 $AB$ 和 $AC$ 的长分别为 $4$ 和 $2$ ，侧棱 $AA_1$ 的长为 $5$ .

（1）求三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的体积;

（2）设 $M$ 是 $BC$ 中点，求直线 $A_1M$ 与平面 $ABC$ 所成角的大小.

2017年文数上海卷题17

2014年文数江西卷题19

19.（本小题满分 12 分）

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $AA_1\perp BC$ ， $A_1B\perp BB_1$ .

（1）求证： $A_1C\perp CC_1$ ;

（2）若 $AB =2$ ， $AC=\sqrt{3}$ ， $BC=\sqrt{7}$ ，问 $AA_1$ 为何值时，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 体积最大，并求此最大值.

2014年文数江西卷题19

2014年文数四川卷题18

18.（本小题满分 12 分）

在如图所示的多面体中，四边形 $ABB_1A_1$ ，和 $ACC_1A_1$ 都为矩形.

（I）若 $AC\perp BC$ ，证明∶直线 $BC\perp$ 平面 $ACC_1A_1$ ;

（Ⅱ）设 $D,E$ 分别是线段 $BC,CC_1$ 的中点，在线段 $AB$ 上是否存在一点 $M$ ，使直线 $DE//$ 平面 $A_1MC$ ? 请证明你的结论.

2014年文数四川卷题18

2014年文数北京卷题17

（17）（本小题14 分）

如图，在三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，侧棱垂直于底面， $AB\perp BC$ ， $AA_1= AC=2$ ， $BC=1$ ， $E,F$ 分别是 $A_1C_1$ ， $BC$ 的中点.

（Ⅰ）求证：平面 $ABE \perp$ 平面 $B_1BCC_1$ ;

（Ⅱ）求证： $C_1F//$ 平面 $ABE$ ;

（Ⅲ）求三棱锥 $E-ABC$ 的体积.

2014年文数北京卷题17

2015年浙江卷题18

18.（本题满分15分）

如图，在三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $\angle BAC=90°$ , $AB=AC=2$ , $A_1A=4$ , $A_1$ 在底面 $ABC$ 的射影为 $BC$ 的中点， $D$ 是 $B_1C_1$ 的中点.

（I）证明∶ $A_1D \perp$ 平面 $A_1BC$ ;

（Ⅱ）求直线 $A_1B$ 和平面 $BB_1C_1C$ 所成的角的正弦值.

2015年浙江卷题18

2015年湖南卷题18

18.（本小题满分12 分）

如图4，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面是边长为 $2$ 的正三角形， $E,F$ 分别是 $BC, CC_1$ 的中点.

（Ⅰ）证明：平面 $AEF \perp$ 平面 $B_1BCC_1$ ;

（Ⅱ）若直线 $A_1C$ 与平面 $A_1ABB_1$ 所成的角为 $45°$ ，求三棱锥 $F- AEC$ 的体积.

2015年湖南卷题18

2016年文数浙江卷题18

18.（本题满分15分）

如图，在三棱台 $ABC-DEF$ 中，平面 $BCFE \perp$ 平面 $ABC$ ， $\angle ACB=90°$ , $BE=EF=FC=1$ , $BC=2,AC=3$ .

（I）求证： $BF \perp$ 平面 $ACFD$ ;

（Ⅱ）求直线 $BD$ 与平面 $ACFD$ 所成角的余弦值.

image.png

第4组：体积

本组收录5个题

2018年文数江苏卷题10

10.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 $\underline{\mspace{100mu}}$

2018年文数江苏卷题10

2015年全国卷A题6

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著、书中有如下问题∶“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺. 问∶积及为米几何?” 其意思为∶“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知1斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有

（A）14斛（B）22 斛（C）36 斛（D）66 斛

2015年全国卷题A6

2015年福建卷题20

20.（本小题满分12分）

如图， $AB$ 是圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是圆 $O$ 上异于 $A,B$ 的点， $PO$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面，且 $PO =OB =1$ .

（Ⅰ）若 $D$ 为线段 $AC$ 的中点，求证∶ $AC \perp$ 平面 $PDO$ ;

（Ⅱ）求三棱锥 $P-ABC$ 体积的最大值;

（Ⅲ）若 $BC=2$ ，点 $E$ 在线段 $PB$ 上，求 $CE＋OE$ 的最小值.

2015年福建卷题20

2015年上海卷题19

19.（本题满分 12 分）

如图，圆锥的顶点为 $P$ ，底面圆心为 $O$ ，底面的一条直径为 $AB$ ， $C$ 为半圆弧 $AB$ 的中点， $E$ 为劣弧 $CB$ 的中点已知 $PO=2,OA=1$ . 求三棱锥 $P-AOC$ 的体积，并求异面直线 $PA$ 与 $OE$ 所成的角的大小.

2015年上海卷题19

2016年文数上海卷题19

19.（本题满分12 分）本题共有2 个小题，第1小题满分6分，第 2小题满分6 分.

将边长为1的正方形 $AA_1O_1O$ （及其内部）绕 $OO_1$ 旋转一周形成圆柱，如图，弧 $AC$ 长为 $\dfrac{5\pi}{6}$ ，弧 $A_1B_1$ 长为 $\dfrac{\pi}{3}$ ，其中 $B_1$ 与 $C$ 在平面 $AA_1O_1O$ 的同侧.

（1）求圆柱的体积与侧面积;

（2）求异面直线 $O_1B_1$ 与 $OC$ 所成的角的大小.

image.png

第5组：其它

本组收录7个题

2014年文数湖南卷题18

18.（本小题满分 12 分）

如图3，已知二面角 $α-MN-β$ 的大小为 60°，菱形 $ABCD$ 在面 $\beta$ 内， $A$ ， $B$ 两点在棱 $MN$ 上， $\angle BAD=60°$ ， $E$ 是 $AB$ 的中点， $DO\perp$ 面 $α$ ，垂足为 $O$ .

（Ⅰ）证明∶ $AB\perp$ 平面 $ODE$ ;

（Ⅱ）求异面直线 $BC$ 与 $OD$ 所成角的余弦值.

2014年文数湖南卷题18

2016年文数山东卷题18

（18）（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中， $D$ 是 $AC$ 的中点， $EF//DB$ .

（I）已知 $AB=BC,AE=EC$ . 求证∶ $AC \perp FB$ ;

（Ⅱ）已知 $G$ ， $H$ 分别是 $EC$ 和 $FB$ 的中点. 求证∶ $GH//$ 平面 $ABC$ .

image.png

2018年文数江苏卷题15

15.（本小题满分14 分）

在平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中， $AA_1=AB$ ， $AB_1 \perp B_1C_1$ .

求证∶

（1） $AB//$ 平面 $A_1B_1C$ ;

（2）平而 $ABB_1A_1 \perp$ 平面 $A_1BC$ .

2018年文数江苏卷题15

2018年文数浙江卷题19

19.（本题满分 15 分）

如图，已知多而体 $ABC-A_1B_1C_1$ . $AA_1, BB_1, CC_1$ 均垂直于平面 $ABC$ ， $\angle ABC=120°$ ， $A_1A=4$ ， $C_1C=1$ . $AB=BC=B_1B=2$ .

（Ⅰ）证明： $AB_1 \perp$ 平面 $A_1B_1C_1$ ;

（Ⅱ）求直线 $AC_1$ 与平面 $ABB_1$ 所成的角的正弦值.

2018年文数浙江卷题19

2016年文数浙江卷题17

17.（本小题满分 14 分）

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 $P-A_1B_1C_1D_1$ .，下部的形状是正四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ ，（如图所示），并要求正四棱柱的高 $O_1O$ 是正四棱锥的高 $PO_1$ 的4 倍

（1）若 $AB=6m, P0_1=2 m$ ，则仓库的容积是多少?

（2）若正四棱雏的侧棱长为 $6m$ ，则当 $PO_1$ 为多少时，仓库的容积最大?

2016年文数浙江卷题17

2016年文数天津卷题17

（17）（本小题满分13 分）

如图，四边形 $ABCD$ 是平行四边形，平面 $AED \perp$ 平面 $ABCD$ , $EF//AB$ , $AB=2,BC=EF=1$ , $AE=\sqrt{6},DE=3$ , $\angle BAD=60°$ ， $G$ 为 $BC$ 的中点.

（I）求证∶ $FG//$ 平面 $BED$ ;

（Ⅱ）求证∶平面 $BED \perp$ 平面 $AED$ ;

（Ⅲ）求直线 $EF$ 与平面 $BED$ 所成角的正弦值.

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2017年文数山东卷题18

（18）（本小题满分 12 分）

由四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 截去三棱锥 $C_1-B_1CD_1$ 后得到的几何体如图所示. 四边形 $ABCD$ 为正方形， $O$ 为 $AC$ 与 $BD$ 的交点， $E$ 为 $AD$ 的中点， $A_1E \perp$ 平面 $ABCD$ .

（Ⅰ）证明∶ $A_1O//$ 平面 $B_1CD_1$ ;

（Ⅱ）设 $M$ 是 $OD$ 的中点，证明∶平面 $A_1EM \perp$ 平面 $B_1CD_1$ .

2017年文数山东卷题18

面向初学者的立体几何真题：选自2014至2018年间各省的文数考
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面向初学者的立体几何真题：选自2014至2018年间各省的文数考

第0组：多面体入门

2015年四川卷题18

2016年文数上海卷题16

2014年文数湖北卷题20

第1组：四面体

2015年北京卷题18

2017年文数江苏卷题15

2017年文数北京卷题18

2015年安徽卷题19

2014年文数福建卷题19

2014年文数江苏卷题16

2018年文数天津卷题17

2015年重庆卷题20

2014年文数辽宁卷题19

第2组：四棱锥

2015年湖北卷题20

2016年文数北京卷题18

2014年文数安徽卷题19

2014年文数天津卷题17

2017年文数天津卷题17

2018年文数北京卷题18

2014年文数山东卷题18

2017年文数浙江卷题19

2015年广东卷题18

2014年文数重庆卷题20

2015年陕西卷题18

2014年文数浙江卷题20

2016年文数四川卷题17

2014年文数广东卷题18

第3组：棱柱与棱台、六面体

2016年文数江苏卷题16

2015年山东卷题18

2015年江苏卷题16

2017年文数上海卷题17

2014年文数江西卷题19

2014年文数四川卷题18

2014年文数北京卷题17

2015年浙江卷题18

2015年湖南卷题18

2016年文数浙江卷题18

第4组：体积

2018年文数江苏卷题10

2015年全国卷A题6

2015年福建卷题20

2015年上海卷题19

2016年文数上海卷题19

第5组：其它

2014年文数湖南卷题18

2016年文数山东卷题18

2018年文数江苏卷题15

2018年文数浙江卷题19

2016年文数浙江卷题17

2016年文数天津卷题17

2017年文数山东卷题18

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