美文网首页高考数学真题录
面向初学者的立体几何真题:选自2014至2018年间各省的文数考

面向初学者的立体几何真题:选自2014至2018年间各省的文数考

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-05-30 20:13 被阅读0次

    本文从2014至2018年间各省自主命题的文科数学考卷中收录了48个立体几何大题。这批题难度不高,模型多样,比较适合立体几何的初学者练手。

    第0组:多面体入门

    本组收录3个题

    2015年四川卷题18

    18.(本小题满分 12 分)

    一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.

    (Ⅰ)请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);

    (Ⅱ)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系,并证明你的结论;

    (Ⅲ)证明∶直线 DF \perp 平面 BEG.

    2015年四川卷题18

    2016年文数上海卷题16

    16.如图,在正方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1中,EF 分别为 BCBB_1 的中点,则下列直线中与直线 EF 相交的是

    (A)直线 AA_1

    (B)直线 A_1B_1

    (C)直线 A_1D_1

    (D)直线 B_1C_1

    image.png

    2014年文数湖北卷题20

    20.(本小题满分 13 分)

    如图,在正方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中,E,F,P,Q,M,N 分别是棱 AB,AD,DD_1,BB_1,A_1B_1,A_1D_1 的中点. 求证:

    (I)直线 BC_1// 平面 EFPQ;

    (Ⅱ)直线 AC_1 \perp 平面 PQMN.

    2014年文数湖北卷题20

    第1组:四面体

    本组收录9个题

    2015年北京卷题18

    (18)(本小题14 分)

    如图,在三棱锥 V-ABC 中,平面 VAB \perp 平面 ABC\triangle VAB 为等边三角形,AC \perp BCAC= BC=2O,M 分别为 ABVA 的中点.

    (I)求证:VB// 平面 MOC;

    (Ⅱ)求证:平面 MOC \perp平面 WAB;

    (Ⅲ)求三棱锥 V-ABC 的体积.

    2015年北京卷题18

    2017年文数江苏卷题15

    15.(本小题满分14 分)

    如图,在三棱锥 A-BCD 中,AB \perp ADBC \perp BD,平面 ABD \perp 平面 BCD,点 E,FEA,D 不重合)分别在棱 AD,BD 上,且 EF \perp AD. 求证∶

    (1)EF// 平面 ABC;

    (2)AD \perp AC.

    2017年文数江苏卷题15

    2017年文数北京卷题18

    (18)(本小题14 分)

    如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA \perp ABPA \perp BCAB \perp BCPA=AB=BC=2D 为线段 AC 的中点,E 为线段 PC 上一点.

    (Ⅰ)求证∶PA \perp BD;

    (Ⅱ)求证∶平面 BDE \perp平面 PAC;

    (Ⅲ)当 PA// 平面 BDE 时,求三棱锥 E-BCD 的体积.

    2017年文数北京卷题18

    2015年安徽卷题19

    (19)(本小题满分13分)

    如图,三棱锥 P-ABC 中,PA \perp平面 ABCPA=1AB= 1, AC=2, \angle BAC=60°.

    (Ⅰ)求三棱锥 P-ABC 的体积;

    (Ⅱ)证明∶在线段 PC上存在点 M,使得 AC \perp BM,并求 \dfrac{PM}{MC} 的值.

    2015年安徽卷题19

    2014年文数福建卷题19

    19.(本小题满分12 分)

    如图,三棱锥 A-BCD 中,AB\perp平面 ABCD, CD\perp BD.

    (I)求证:CD\perp 平面 ABD;

    (Ⅱ)若 AB=BD=CD=1MAD 中点,求 三棱锥 A- MBC 的体积.

    2014年文数福建卷题19

    2014年文数江苏卷题16

    16.(本小题满分 14 分)

    如图,在三棱锥 P-ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点. 已知 PA \perp ACPA=6,BC=8,DF=5.

    求证∶

    (1)直线 PA//平面 DEF;

    (2)平面 BDE\perp平面 ABC.

    2014年文数江苏卷题16

    2018年文数天津卷题17

    (17)(本小题满分 13分)

    如图,在四面体 ABCD 中,\triangle ABC 是等边三角形,平面 ABC \perp平面 ABD,点 M 为棱 AB 的中点,AB=2AD=2\sqrt{3}, \angle BAD=90°

    (I)求证∶AD \perp BC;

    (Ⅱ)求异面直线 BCMD 所成角的余弦值;

    (Ⅲ)求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值.

    2018年文数天津卷题17

    2015年重庆卷题20

    (20)(本小题满分12分,(I)小问5分,(Ⅱ)小问7分)

    如图,三棱锥 P- ABC 中,平面 PAC \perp 平面 ABC\angle ABC=\dfrac{\pi}{2},点 D,E 在线段 AC 上,且 AD=DE = EC =2PD = PC=4,点 F 在线段 AB 上,且 EF//BC.

    (Ⅰ)证明∶AB \perp 平面 PFE;

    (Ⅱ)若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长.

    2015年重庆卷题20

    2014年文数辽宁卷题19

    (19)(本小题满分12 分)

    如图,\triangle ABC\triangle BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2, \angle ABC=\angle DBC=120°, E,F, G 分别为 AC,DC,AD 的中点.

    (I)求证∶EF \perp 平面 BCG;

    (Ⅱ)求三棱锥 D- BCG 的体积.

    附∶锥体的体积公式 V= \dfrac{1}{3} Sh,其中 S 为底面面积,h 为高.

    2014年文数辽宁卷题19

    第2组:四棱锥

    本组收录14个题

    2015年湖北卷题20

    20.(本小题满分 13 分)

    《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马 P-ABCD 中,侧棱 PD \perp底面 ABCD,且 PD= CD,点 EPC 的中点,连接 DE,BD,BE.

    (I)证明∶DE \perp平面 PBC. 试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论); 若不是,请说明理由;

    (Ⅱ)记阳马 P-ABCD 的体积为 V_1,四面体 EBCD 的体积为 V_2,求 \dfrac{V_1}{V_2} 的值,

    2015年湖北卷题20

    2016年文数北京卷题18

    (18)(本小题14分)

    如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC \perp平面 ABCDAB// DC, DC \perp AC.

    (I)求证∶DC\perp 平面 PAC;

    (Ⅱ)求证:平面 PAB \perp 平面 PAC;

    (Ⅲ)设点 EAB 的中点.在棱 PB上是否存在点 F,使得 PA// 平面 CEF ? 说明理由.

    image.png

    2014年文数安徽卷题19

    (19)(本小题满分 13 分)

    如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 8 的正方形,四条侧棱长均为 2\sqrt{17}. 点 G,E,F,H 分别是棱 PB,AB,CD,PC 上共面的四点,平面 GEFH \perp 平面 ABCDBC//平面 GEFH.

    (Ⅰ)证明∶GH//EF;

    (Ⅱ)若 EB=2,求四边形 CEFH的面积

    2014年文数安徽卷题19

    2014年文数天津卷题17

    (17)(本小题满分13 分)

    如图,四棱锥 P- ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,BA= BD = \sqrt{2}AD=2PA=PD=\sqrt{5}E,F 分别

    是棱 AD,PC 的中点.

    (I)证明 EF// 平面 PAB;

    (Ⅱ)若二面角 P-AD-B60°

    \qquad①证明平面 PBC\perp平面 ABCD;

    \qquad②求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值.

    2014年文数天津卷题17

    2017年文数天津卷题17

    (17)(本小题满分 13 分)

    如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AD \perp平面 PDCAD//BC, PD \perp PB, AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.

    (I)求异面直线 APBC 所成角的余弦值;

    (Ⅱ)求证∶PD \perp平面 PBC;

    (Ⅲ)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.

    2017年文数天津卷题17

    2018年文数北京卷题18

    (18)(本小题14分)

    如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PAD \perp 平面 ABCDPA \perp PDPA=PDE,F 分别为 AD, PB 的中点.

    (Ⅰ)求证∶PE \perp BC;

    (Ⅱ)求证∶平面 PAB \perp 平面 PCD;

    (Ⅲ)求证∶EF// 平面 PCD.

    2018年文数北京卷题18

    2014年文数山东卷题18

    (18)(本小题满分12 分)

    如图,四棱锥 P-ABCD 中, AP\perp 平面 PCDAD//BCAB=BC=\dfrac{1}{2}ADE,F 分别为线段

    AD,PC 的中点.

    (I)求证:AP// 平面 BEF;

    (Ⅱ)求证:BE \perp 平面 PAC.

    2014年文数山东卷题18

    2017年文数浙江卷题19

    19.(本题满分 15分)

    如图,已知四棱锥 P-ABCD\triangle PAD 是以 AD为斜边的等腰直角三角形,BC//ADCD \perp ADPC=AD=2DC=2CB, EPD 的中点.

    (Ⅰ)证明∶CE// 平面 PAB;

    (Ⅱ)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.

    2017年文数浙江卷题19

    2015年广东卷题18

    18.(本小题满分14 分)

    如图3,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD= PC=4, AB=6,BC=3.

    (1)证明:BC//平面 PDA;

    (2)证明:BC\perp PD;

    (3)求点 C 到平面 PDA 的距离.

    2015年广东卷题18

    2014年文数重庆卷题20

    (20)(本小题满分12分,(I)小问4分,(Ⅱ)小问8分)

    如图,四棱锥 P- ABCD 中,底面是以 O 为中心的菱形,PO \perp 底面 ABCD, AB=2, \angle BAD=\dfrac{\pi}{3},

    MBC 上一点,且 BM=\dfrac{1}{2}.

    (Ⅰ)证明:BC\perp平面 POM;

    (Ⅱ)若 MP \perp AP,求四棱锥 P-ABMO 的体积.

    2014年文数重庆卷题20

    2015年陕西卷题18

    18.(本小题满分12分)

    如图1,在直角梯形 ABCD 中,AD//BC\angle BAD=\dfrac{\pi}{2}AB=BC=\dfrac{1}{2} AD=aEAD 的中点,OACBE 的交点. 将 \triangle ABE 沿 BE 折起到图2中 \triangle A_1 BE 的位置,得到四棱锥 A_1-BCDE.

    (Ⅰ)证明∶CD \perp平面 A_1OC;

    (Ⅱ)当平面 A_1BE \perp 平面 BCDE 时,四棱锥 A_1-BCDE 的体积为 36\sqrt{2},求 a 的值.

    2015年陕西卷题18

    2014年文数浙江卷题20

    20.(本题满分 15分)

    如图,在四棱锥 A-BCDE 中,平面 ABC\perp平面 BCDE\angle CDE=\angle BED=90°, AB = CD = 2, DE = BE = 1, AC=\sqrt{2}.

    (Ⅰ)证明∶AC\perp 平面 BCDE;

    (Ⅱ)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值.

    2014年文数浙江卷题20

    2016年文数四川卷题17

    17.(本小题满分 12 分)

    如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA \perp CDAD//BC\angle ADC=\angle PAB =90°, BC= CD=\dfrac{1}{2} AD.

    (Ⅰ)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM// 平面 PAB,并说明理由;

    (Ⅱ)证明∶平面 PAB \perp平面 PBD.

    image.png

    2014年文数广东卷题18

    18.(本小题满分13 分)

    如图2,四边形 ABCD 为矩形,PD \perp 平面 ABCDAB=1BC=PC=2. 作如图3折叠; 折痕 EF//DC,其中点E,F 分别在线段 PD,PC 上,沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M,并且 MF \perp CF.

    (1)证明∶CF \perp 平面 MDF;

    (2)求三棱锥 M-CDE 的体积.

    2014年文数广东卷题18

    第3组:棱柱与棱台、六面体

    本组收录10个题

    2016年文数江苏卷题16

    16.(本小题满分 14 分)

    如图,在直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1D,E 分别为 AB,BC 的中点,点 F 在侧棱 B_1B 上,且 B_1D \perp A_1FA_1C_1 \perp A_1B_1.

    求证∶

    (1)直线 DE// 平面 A_1C_1F;

    (2)平面 B_1DE \perp 平面 A_1C_1F.

    image.png

    2015年山东卷题18

    (18)(本小题满分12分)

    如图,三棱台 DEF-ABCAB=2DEG,H 分别为 AC,BC 的中点.

    (Ⅰ)求证:BD// 平面 FGH;

    (Ⅱ)若 CF \perp BC,AB \perp BC,求证:平面 BCD\perp平面 ECH.

    2015年山东卷题18

    2015年江苏卷题16

    16.(本小题满分 14 分)

    如图,在直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中,已知 AC \perp BCBC= CC_1. 设 AB_1 的中点为 DB_1C \cap BC_1=E.求证∶

    (1)DE// 平面 AA_1C_1C;

    (2)BC_1 \perp AB_1.

    2015年江苏卷题16

    2017年文数上海卷题17

    17.(本题满分14 分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)

    如图,直三棱柱 ABC- A_1B_1C_1 的底面为直角三角形,两直角边 ABAC 的长分别为 42,侧棱 AA_1 的长为 5.

    (1)求三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 的体积;

    (2)设 MBC 中点,求直线 A_1M 与平面 ABC 所成角的大小.

    2017年文数上海卷题17

    2014年文数江西卷题19

    19.(本小题满分 12 分)

    如图,三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中,AA_1\perp BCA_1B\perp BB_1.

    (1)求证:A_1C\perp CC_1;

    (2)若 AB =2AC=\sqrt{3}BC=\sqrt{7},问 AA_1 为何值时,三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 体积最大,并求此最大值.

    2014年文数江西卷题19

    2014年文数四川卷题18

    18.(本小题满分 12 分)

    在如 图所示的多面体中,四边形 ABB_1A_1,和 ACC_1A_1 都为矩形.

    (I)若 AC\perp BC,证明∶直线 BC\perp平面 ACC_1A_1;

    (Ⅱ)设 D,E 分别是线段 BC,CC_1 的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M,使直线 DE// 平面 A_1MC ? 请证明你的结论.

    2014年文数四川卷题18

    2014年文数北京卷题17

    (17)(本小题14 分)

    如图,在三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中,侧棱垂直于底面,AB\perp BCAA_1= AC=2BC=1E,F 分别是 A_1C_1BC 的中点.

    (Ⅰ)求证:平面 ABE \perp 平面 B_1BCC_1;

    (Ⅱ)求证:C_1F// 平面 ABE;

    (Ⅲ)求三棱锥 E-ABC 的体积.

    2014年文数北京卷题17

    2015年浙江卷题18

    18.(本题满分15分)

    如图,在三棱柱 ABC-A_1B_1C_1中,\angle BAC=90°, AB=AC=2, A_1A=4, A_1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,DB_1C_1 的中点.

    (I)证明∶A_1D \perp 平面 A_1BC;

    (Ⅱ)求直线 A_1B 和平面 BB_1C_1C 所成的角的正弦值.

    2015年浙江卷题18

    2015年湖南卷题18

    18.(本小题满分12 分)

    如图4,直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 的底面是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 BC, CC_1 的中点.

    (Ⅰ)证明:平面 AEF \perp 平面 B_1BCC_1;

    (Ⅱ)若直线 A_1C 与平面 A_1ABB_1 所成的角为 45°,求三棱锥 F- AEC 的体积.

    2015年湖南卷题18

    2016年文数浙江卷题18

    18.(本题满分15分)

    如图,在三棱台 ABC-DEF 中,平面 BCFE \perp 平面 ABC\angle ACB=90°, BE=EF=FC=1, BC=2,AC=3.

    (I)求证:BF \perp 平面 ACFD;

    (Ⅱ)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值.

    image.png

    第4组:体积

    本组收录5个题

    2018年文数江苏卷题10

    10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 \underline{\mspace{100mu}}

    2018年文数江苏卷题10

    2015年全国卷A题6

    (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著、书中有如下 问题∶“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺. 问∶积及为米几何?” 其意思为∶“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知1斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有

    (A)14斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛

    2015年全国卷题A6

    2015年福建卷题20

    20.(本小题满分12分)

    如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O上异于 A,B 的点,PO 垂直于圆 O 所在的平面,且 PO =OB =1.

    (Ⅰ)若 D 为线段 AC 的中点,求证∶AC \perp平面 PDO;

    (Ⅱ)求三棱锥 P-ABC 体积的最大值;

    (Ⅲ)若 BC=2,点 E 在线段 PB 上,求 CE+OE 的最小值.

    2015年福建卷题20

    2015年上海卷题19

    19.(本题满分 12 分)

    如图,圆锥的顶点为 P,底面圆心为 O,底面的一条直径为 ABC 为半圆弧 AB 的中点,E 为劣弧 CB 的中点已知PO=2,OA=1. 求三棱锥 P-AOC 的体积,并求异面直线 PAOE 所成的角的大小.

    2015年上海卷题19

    2016年文数上海卷题19

    19.(本题满分12 分)本题共有2 个小题,第1小题满分6分,第 2小题满分6 分.

    将边长为1的正方形 AA_1O_1O(及其内部)绕 OO_1 旋转一周形成圆柱,如图,弧 AC 长为 \dfrac{5\pi}{6},弧 A_1B_1 长为 \dfrac{\pi}{3},其中B_1C 在平面 AA_1O_1O 的同侧.

    (1)求圆柱的体积与侧面积;

    (2)求异面直线 O_1B_1OC 所成的角的大小.

    image.png

    第5组:其它

    本组收录7个题

    2014年文数湖南卷题18

    18.(本小题满分 12 分)

    如图3,已知二面角 α-MN-β 的大小为 60°,菱形 ABCD 在面 \beta 内,AB 两点在棱 MN 上, \angle BAD=60°EAB 的中点,DO\perpα,垂足为 O.

    (Ⅰ)证明∶AB\perp平面 ODE;

    (Ⅱ)求异面直线 BCOD 所成角的余弦值.

    2014年文数湖南卷题18

    2016年文数山东卷题18

    (18)(本小题满分12分)

    在如图所示的几何体中,DAC 的中点,EF//DB.

    (I)已知 AB=BC,AE=EC. 求证∶AC \perp FB;

    (Ⅱ)已知 GH 分别是 ECFB 的中点. 求证∶GH// 平面 ABC.

    image.png

    2018年文数江苏卷题15

    15.(本小题满分14 分)

    在平行六面体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中,AA_1=ABAB_1 \perp B_1C_1.

    求证∶

    (1)AB// 平面 A_1B_1C;

    (2)平而 ABB_1A_1 \perp 平面 A_1BC.

    2018年文数江苏卷题15

    2018年文数浙江卷题19

    19.(本题满分 15 分)

    如图,已知多而体 ABC-A_1B_1C_1. AA_1, BB_1, CC_1 均垂直于平面 ABC\angle ABC=120°A_1A=4C_1C=1. AB=BC=B_1B=2.

    (Ⅰ)证明:AB_1 \perp平面 A_1B_1C_1;

    (Ⅱ)求直线 AC_1 与平面 ABB_1 所成的角的正弦值.

    2018年文数浙江卷题19

    2016年文数浙江卷题17

    17.(本小题满分 14 分)

    现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥 P-A_1B_1C_1D_1.,下部的形状是正四棱柱 ABCD-A_1B_1C_1D_1,(如图所示),并要求正四棱柱的高 O_1O 是正四棱锥的高 PO_1 的4 倍

    (1)若 AB=6m, P0_1=2 m,则仓库的容积是多少?

    (2)若正四棱雏的侧棱长为 6m,则当 PO_1 为多少时,仓库的容积最大?

    2016年文数浙江卷题17

    2016年文数天津卷题17

    (17)(本小题满分13 分)

    如图,四边形 ABCD 是平行四边形,平面 AED \perp平面 ABCD, EF//AB, AB=2,BC=EF=1, AE=\sqrt{6},DE=3, \angle BAD=60°GBC 的中点.

    (I)求证∶FG// 平面 BED;

    (Ⅱ)求证∶平面 BED \perp平面 AED;

    (Ⅲ)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.

    image.png

    2017年文数山东卷题18

    (18)(本小题满分 12 分)

    由四棱柱 ABCD-A_1B_1C_1D_1 截去三棱锥 C_1-B_1CD_1 后得到的几何体如图所示. 四边形 ABCD为正方形,OACBD 的交点,EAD 的中点,A_1E \perp 平面 ABCD.

    (Ⅰ)证明∶A_1O// 平面 B_1CD_1;

    (Ⅱ)设 MOD 的中点,证明∶平面 A_1EM \perp平面 B_1CD_1.

    2017年文数山东卷题18

    相关文章

      网友评论

        本文标题:面向初学者的立体几何真题:选自2014至2018年间各省的文数考

        本文链接:https://www.haomeiwen.com/subject/fexmsltx.html