本文从2014至2018年间各省自主命题的文科数学考卷中收录了48个立体几何大题。这批题难度不高,模型多样,比较适合立体几何的初学者练手。
第0组:多面体入门
本组收录3个题
2015年四川卷题18
18.(本小题满分 12 分)
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(Ⅰ)请将字母 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);
(Ⅱ)判断平面 与平面 的位置关系,并证明你的结论;
(Ⅲ)证明∶直线 平面 .
2015年四川卷题182016年文数上海卷题16
16.如图,在正方体 中,、 分别为 、 的中点,则下列直线中与直线 相交的是
(A)直线
(B)直线
(C)直线
(D)直线
image.png2014年文数湖北卷题20
20.(本小题满分 13 分)
如图,在正方体 中, 分别是棱 的中点. 求证:
(I)直线 平面 ;
(Ⅱ)直线 平面 .
2014年文数湖北卷题20第1组:四面体
本组收录9个题
2015年北京卷题18
(18)(本小题14 分)
如图,在三棱锥 中,平面 平面 , 为等边三角形, 且 , 分别为 , 的中点.
(I)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求证:平面 平面 ;
(Ⅲ)求三棱锥 的体积.
2015年北京卷题182017年文数江苏卷题15
15.(本小题满分14 分)
如图,在三棱锥 中,,,平面 平面 ,点 ( 与 不重合)分别在棱 上,且 . 求证∶
(1) 平面 ;
(2).
2017年文数江苏卷题152017年文数北京卷题18
(18)(本小题14 分)
如图,在三棱锥 中,,,,, 为线段 的中点, 为线段 上一点.
(Ⅰ)求证∶;
(Ⅱ)求证∶平面 平面 ;
(Ⅲ)当 平面 时,求三棱锥 的体积.
2017年文数北京卷题182015年安徽卷题19
(19)(本小题满分13分)
如图,三棱锥 中,平面 ,,, , .
(Ⅰ)求三棱锥 的体积;
(Ⅱ)证明∶在线段 上存在点 ,使得 ,并求 的值.
2015年安徽卷题192014年文数福建卷题19
19.(本小题满分12 分)
如图,三棱锥 中,平面 , .
(I)求证: 平面 ;
(Ⅱ)若 , 为 中点,求 三棱锥 的体积.
2014年文数福建卷题192014年文数江苏卷题16
16.(本小题满分 14 分)
如图,在三棱锥 中, 分别为棱 的中点. 已知 ,.
求证∶
(1)直线 平面 ;
(2)平面 平面 .
2014年文数江苏卷题162018年文数天津卷题17
(17)(本小题满分 13分)
如图,在四面体 中, 是等边三角形,平面 平面 ,点 为棱 的中点,, ,
(I)求证∶;
(Ⅱ)求异面直线 与 所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
2018年文数天津卷题172015年重庆卷题20
(20)(本小题满分12分,(I)小问5分,(Ⅱ)小问7分)
如图,三棱锥 中,平面 平面 , ,点 在线段 上,且 ,,点 在线段 上,且 .
(Ⅰ)证明∶ 平面 ;
(Ⅱ)若四棱锥 的体积为 ,求线段 的长.
2015年重庆卷题202014年文数辽宁卷题19
(19)(本小题满分12 分)
如图, 和 所在平面互相垂直,且 , , 分别为 的中点.
(I)求证∶ 平面 ;
(Ⅱ)求三棱锥 的体积.
附∶锥体的体积公式 ,其中 为底面面积, 为高.
2014年文数辽宁卷题19第2组:四棱锥
本组收录14个题
2015年湖北卷题20
20.(本小题满分 13 分)
《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马 中,侧棱 底面 ,且 ,点 是 的中点,连接 .
(I)证明∶平面 . 试判断四面体 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论); 若不是,请说明理由;
(Ⅱ)记阳马 的体积为 ,四面体 的体积为 ,求 的值,
2015年湖北卷题202016年文数北京卷题18
(18)(本小题14分)
如图,在四棱锥 中,平面 ,, .
(I)求证∶ 平面 ;
(Ⅱ)求证:平面 平面 ;
(Ⅲ)设点 为 的中点.在棱 上是否存在点 ,使得 平面 ? 说明理由.
image.png2014年文数安徽卷题19
(19)(本小题满分 13 分)
如图,四棱锥 的底面是边长为 的正方形,四条侧棱长均为 . 点 分别是棱 上共面的四点,平面 平面 ,平面 .
(Ⅰ)证明∶;
(Ⅱ)若 ,求四边形 的面积
2014年文数安徽卷题192014年文数天津卷题17
(17)(本小题满分13 分)
如图,四棱锥 的底面 是平行四边形,,,, 分别
是棱 的中点.
(I)证明 平面 ;
(Ⅱ)若二面角 为 ,
①证明平面 平面 ;
②求直线 与平面 所成角的正弦值.
2014年文数天津卷题172017年文数天津卷题17
(17)(本小题满分 13 分)
如图,在四棱锥 中,平面 ,, , .
(I)求异面直线 与 所成角的余弦值;
(Ⅱ)求证∶平面 ;
(Ⅲ)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.
2017年文数天津卷题172018年文数北京卷题18
(18)(本小题14分)
如图,在四棱锥 中,底面 为矩形,平面 平面 ,,, 分别为 的中点.
(Ⅰ)求证∶;
(Ⅱ)求证∶平面 平面 ;
(Ⅲ)求证∶ 平面 .
2018年文数北京卷题182014年文数山东卷题18
(18)(本小题满分12 分)
如图,四棱锥 中, 平面 ,,, 分别为线段
的中点.
(I)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求证: 平面 .
2014年文数山东卷题182017年文数浙江卷题19
19.(本题满分 15分)
如图,已知四棱锥 , 是以 为斜边的等腰直角三角形,,,, 为 的中点.
(Ⅰ)证明∶ 平面 ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
2017年文数浙江卷题192015年广东卷题18
18.(本小题满分14 分)
如图3,三角形 所在的平面与长方形 所在的平面垂直,, .
(1)证明:平面 ;
(2)证明:;
(3)求点 到平面 的距离.
2015年广东卷题182014年文数重庆卷题20
(20)(本小题满分12分,(I)小问4分,(Ⅱ)小问8分)
如图,四棱锥 中,底面是以 为中心的菱形, 底面 , , ,
为 上一点,且 .
(Ⅰ)证明:平面 ;
(Ⅱ)若 ,求四棱锥 的体积.
2014年文数重庆卷题202015年陕西卷题18
18.(本小题满分12分)
如图1,在直角梯形 中,,,, 是 的中点, 是 与 的交点. 将 沿 折起到图2中 的位置,得到四棱锥 .
(Ⅰ)证明∶平面 ;
(Ⅱ)当平面 平面 时,四棱锥 的体积为 ,求 的值.
2015年陕西卷题182014年文数浙江卷题20
20.(本题满分 15分)
如图,在四棱锥 中,平面 平面 ,, , , .
(Ⅰ)证明∶ 平面 ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成的角的正切值.
2014年文数浙江卷题202016年文数四川卷题17
17.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 中,,,, .
(Ⅰ)在平面 内找一点 ,使得直线 平面 ,并说明理由;
(Ⅱ)证明∶平面 平面 .
image.png2014年文数广东卷题18
18.(本小题满分13 分)
如图2,四边形 为矩形, 平面 ,,. 作如图3折叠; 折痕 ,其中点 分别在线段 上,沿 折叠后点 叠在线段 上的点记为 ,并且 .
(1)证明∶ 平面 ;
(2)求三棱锥 的体积.
2014年文数广东卷题18第3组:棱柱与棱台、六面体
本组收录10个题
2016年文数江苏卷题16
16.(本小题满分 14 分)
如图,在直三棱柱 中 分别为 的中点,点 在侧棱 上,且 ,.
求证∶
(1)直线 平面 ;
(2)平面 平面 .
image.png2015年山东卷题18
(18)(本小题满分12分)
如图,三棱台 中 , 分别为 的中点.
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)若 ,求证:平面 平面 .
2015年山东卷题182015年江苏卷题16
16.(本小题满分 14 分)
如图,在直三棱柱 中,已知 ,. 设 的中点为 ,.求证∶
(1) 平面 ;
(2).
2015年江苏卷题162017年文数上海卷题17
17.(本题满分14 分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
如图,直三棱柱 的底面为直角三角形,两直角边 和 的长分别为 和 ,侧棱 的长为 .
(1)求三棱柱 的体积;
(2)设 是 中点,求直线 与平面 所成角的大小.
2017年文数上海卷题172014年文数江西卷题19
19.(本小题满分 12 分)
如图,三棱柱 中,,.
(1)求证:;
(2)若 ,,,问 为何值时,三棱柱 体积最大,并求此最大值.
2014年文数江西卷题192014年文数四川卷题18
18.(本小题满分 12 分)
在如 图所示的多面体中,四边形 ,和 都为矩形.
(I)若 ,证明∶直线 平面 ;
(Ⅱ)设 分别是线段 的中点,在线段 上是否存在一点 ,使直线 平面 ? 请证明你的结论.
2014年文数四川卷题182014年文数北京卷题17
(17)(本小题14 分)
如图,在三棱柱 中,侧棱垂直于底面,,,, 分别是 , 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 平面 ;
(Ⅱ)求证: 平面 ;
(Ⅲ)求三棱锥 的体积.
2014年文数北京卷题172015年浙江卷题18
18.(本题满分15分)
如图,在三棱柱 中,, , , 在底面 的射影为 的中点, 是 的中点.
(I)证明∶ 平面 ;
(Ⅱ)求直线 和平面 所成的角的正弦值.
2015年浙江卷题182015年湖南卷题18
18.(本小题满分12 分)
如图4,直三棱柱 的底面是边长为 的正三角形, 分别是 的中点.
(Ⅰ)证明:平面 平面 ;
(Ⅱ)若直线 与平面 所成的角为 ,求三棱锥 的体积.
2015年湖南卷题182016年文数浙江卷题18
18.(本题满分15分)
如图,在三棱台 中,平面 平面 , , , .
(I)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的余弦值.
image.png第4组:体积
本组收录5个题
2018年文数江苏卷题10
10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
2018年文数江苏卷题102015年全国卷A题6
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著、书中有如下 问题∶“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺. 问∶积及为米几何?” 其意思为∶“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知1斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有
(A)14斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛
2015年全国卷题A62015年福建卷题20
20.(本小题满分12分)
如图, 是圆 的直径,点 是圆 上异于 的点, 垂直于圆 所在的平面,且 .
(Ⅰ)若 为线段 的中点,求证∶平面 ;
(Ⅱ)求三棱锥 体积的最大值;
(Ⅲ)若 ,点 在线段 上,求 的最小值.
2015年福建卷题202015年上海卷题19
19.(本题满分 12 分)
如图,圆锥的顶点为 ,底面圆心为 ,底面的一条直径为 , 为半圆弧 的中点, 为劣弧 的中点已知. 求三棱锥 的体积,并求异面直线 与 所成的角的大小.
2015年上海卷题192016年文数上海卷题19
19.(本题满分12 分)本题共有2 个小题,第1小题满分6分,第 2小题满分6 分.
将边长为1的正方形 (及其内部)绕 旋转一周形成圆柱,如图,弧 长为 ,弧 长为 ,其中 与 在平面 的同侧.
(1)求圆柱的体积与侧面积;
(2)求异面直线 与 所成的角的大小.
image.png第5组:其它
本组收录7个题
2014年文数湖南卷题18
18.(本小题满分 12 分)
如图3,已知二面角 的大小为 60°,菱形 在面 内,, 两点在棱 上, , 是 的中点, 面 ,垂足为 .
(Ⅰ)证明∶平面 ;
(Ⅱ)求异面直线 与 所成角的余弦值.
2014年文数湖南卷题182016年文数山东卷题18
(18)(本小题满分12分)
在如图所示的几何体中, 是 的中点,.
(I)已知 . 求证∶;
(Ⅱ)已知 , 分别是 和 的中点. 求证∶ 平面 .
image.png2018年文数江苏卷题15
15.(本小题满分14 分)
在平行六面体 中,,.
求证∶
(1) 平面 ;
(2)平而 平面 .
2018年文数江苏卷题152018年文数浙江卷题19
19.(本题满分 15 分)
如图,已知多而体 . 均垂直于平面 ,,,. .
(Ⅰ)证明:平面 ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成的角的正弦值.
2018年文数浙江卷题192016年文数浙江卷题17
17.(本小题满分 14 分)
现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥 .,下部的形状是正四棱柱 ,(如图所示),并要求正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的4 倍
(1)若 ,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱雏的侧棱长为 ,则当 为多少时,仓库的容积最大?
2016年文数浙江卷题172016年文数天津卷题17
(17)(本小题满分13 分)
如图,四边形 是平行四边形,平面 平面 , , , , , 为 的中点.
(I)求证∶ 平面 ;
(Ⅱ)求证∶平面 平面 ;
(Ⅲ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
image.png2017年文数山东卷题18
(18)(本小题满分 12 分)
由四棱柱 截去三棱锥 后得到的几何体如图所示. 四边形 为正方形, 为 与 的交点, 为 的中点, 平面 .
(Ⅰ)证明∶ 平面 ;
(Ⅱ)设 是 的中点,证明∶平面 平面 .
2017年文数山东卷题18
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