空间的垂直关系有以下三种：

『线线垂直』：包括共面垂直和异面垂直两类情况。

『线面垂直』

『面面垂直』

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这三种垂直关系，可以相互转化。

（1）由线线垂直可以推出线面垂直。这是线面垂直的判定定理，也是一项常规性的操作。

（2）由线面垂直可以推出线线垂直。这是线面垂直的判定定理。

（3）由线面垂直还可以推出面面垂直。

（4）由面面垂直可以推出线面垂直。

（5）此外，借助线线平行，可以由线面垂直推出新的线面垂直；由两组线面垂直（同一个平面不同直线）可以推出线线平行；由两组线面垂直（同一直线不同平面）可以推出面面平行。

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真题实例

2007年文数海南卷题18

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如图， 为空间四点，在 中，，等边三角形 以 为轴转动.

（Ⅰ）当平面 平面 时，求 ;

（Ⅱ）当 转动时，是否总有 ? 证明你的结论.

2007年文科数学海南卷

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2017年文科数学全国卷C题19

如图，四面体 中， 是正三角形，

（1）证明： ；

2017年文科数学全国卷C

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2009年理数海南卷题19

如图，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍， 为侧棱 上的点.

（I）求证∶;

2009年理数海南卷

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2009年文科数学海南卷题18

如图，在三棱 锥 中， 是等边三角形，

（Ⅰ）证明∶;

img

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2007年理科数学海南卷题18

如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形，， 为 的中点.

（Ⅰ）证明∶ 平面 ;

img

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2004年文数全国卷C题21

三棱锥 中，侧面 与底面 垂直，

（Ⅰ）求证 ;

2004年文科数学全国卷C题21

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2014年文数全国卷A题19

如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点为 ，且 平面

（I）证明∶ ;

2014年文科数学全国卷A

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2013年理数全国卷A题18

如图，三棱柱 中，

（I）证明∶ ;

2013年理科数学全国卷A

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2013年文科数学全国卷A题19

如图，三棱柱 中，

（Ⅰ）证明∶ ;

2013年文科数学全国卷A

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2011年文数全国卷题18

如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形，， 底面

（I）证明∶;

2011年文科数学全国卷

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2011年理数全国卷题18

如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形，， 底面

（I）证明∶;

2011年理科数学全国卷

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2018年理数全国卷B题20

如图，在三棱锥 中，，， 为 的中点.

（1）证明∶ 平面 ;

2018年理科数学全国卷B

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2012年理数全国卷题19

如图，直三棱柱 中， 是棱 的中点.

（Ⅰ）证明∶ ;

2012年理科数学全国卷

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2014年文数全国卷A题19

如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点为 ，且 平面

（I）证明∶ ;

2014年文数全国卷A

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2020年全国卷A题18

如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径，. 是底面的内接正三角形， 为 上一点，.

（1）证明∶ 平面 ;

2020年全国卷A

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2010年理数全国卷题18

如图，已知四棱锥 的底面为等腰梯形，，垂足为 ， 是四棱锥的高， 为 中点.

（1）证明∶;

2010年理数全国卷

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2012年理数大纲卷题18

如图，四棱锥 中，底面 为菱形， 底面 ，， 是 上的一点，

（Ⅰ）证明∶ 平面 ;

2012年理科数学大纲卷

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2019年文数全国卷B题17

如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上，

（1）证明∶ 平面 ;

注：理数与文数的第1问完全相同。

2019年文数B17

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四棱锥：2016年理数北京卷题17

如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， , , .

2016年理科数学北京卷题17

（Ⅰ）求证∶ 平面 ;

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折纸：2016年文数全国卷B题19

如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，点 分别在 上， 交 于点 . 将 沿 折到 的位置.

（I）证明∶;

2016年文数全国卷B

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折纸 二面角：2016年理数全国卷B题19

如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，，点 分别在 上，， 交 于点 . 将 沿 折到 的位置，

（I）证明∶平面 ;

2016年理数全国卷B

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向量方法：2012年理数北京卷题16（14分）

如图1，在 中，， 分别是 上的点，且 ， 将 沿 折起到 的位置，使 ，如图2.

（Ⅰ）求证：平面 ;

2012年理科数学北京卷

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