高考文科数学真题选：函数与导数

高考文科数学真题选：函数与导数

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-06-01 14:02 被阅读0次

幂函数及零点问题

二次函数：2009年文数全国卷题21

已知函数 $f(x)=x^{3}-3 a x^{2}-9 a^{2} x+a^{3}$ .

（I）设 $a=1$ ，求函数 $f(x)$ 的极值;

（Ⅱ）若 $a \gt \dfrac {1}{4}$ ，且当 $x \in [1,4a]$ 时， $|f'(x)| \leqslant 12a$ 恒成立，试确定 $a$ 的取值范围.

参考答案：2009年文数全国卷题21

零点问题：2014年文数全国卷B题21

已知函数 $f(x)=x^3-3x^2+ax+2$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标为 $-2$ .

（Ⅰ）求 $a$ ;

（Ⅱ）证明∶当 $k \lt 1$ 时，曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=kx-2$ 只有一个交点.

参考答案：2014年文数全国卷B题21

零点问题：2018年文数全国卷B题21

已知函数 $f(x)= \dfrac {1} {3} x^{3}-a\left(x^{2}+x+1\right)$ .

（1）若 $a=3$ ，求 $f(x)$ 的单调区间;

（2）证明： $f(x)$ 只有一个零点.

参考答案：2018年文数全国卷B题21

指数函数

指数函数：2010年文数全国卷题21

设函数 $f(x)=x\left( e^{x}-1\right)-a x^{2}$ .

（1）若 $a=\dfrac{1}{2}$ ，求 $f(x)$ 的单调区间;

（2）若当 $x \geqslant 0$ 时 $f(x) \geqslant 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

参考答案：2010年文数全国卷题21

指数函数：2018年文数全国卷C题21

已知函数 $f(x)=\dfrac {ax^2+x-1} {e^x}$ .

（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,-1)$ 处的切线方程;

（2）证明：当 $a \geqslant 1$ 时， $f(x)+e \geqslant 0$ .

参考答案：2018年文数全国卷C题21

指数函数与对数函数：2018年文数全国卷A题21

已知函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x}-\ln x-1$ .

（1）设 $x=2$ 是 $f(x)$ 的极值点，求 $a$ ，并求 $f(x)$ 的单调区间;

（2）证明∶当 $a \geqslant \dfrac{1}{e}$ 时， $f(x) \geqslant 0$ .

参考答案：2018年文数全国卷A题21

指数函数：2017年文数全国卷B题21

设函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right) \mathrm{e}^{x}$ .

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性;

（2）当 $x \geqslant 0$ 时， $f(x) \leqslant ax+1$ ，求 $a$ 的取值范围.

参考答案：2017年文数全国卷B题21

指数函数：2017年文数全国卷A题21

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}-a\right)-a^{2} x$ .

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性;

（2）若 $f(x) \geqslant 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

参考答案：2017年文数全国卷A题21

指数函数：2013年文数全国卷B题21

已知函数 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-x}$ .

（Ⅰ）求 $f(x)$ 的极小值和极大值;

（Ⅱ）当曲线 $y=f(x)$ 的切线 $l$ 的斜率为负数时，求 $l$ 在 $x$ 轴上截距的取值范围.

参考答案：2013年文数全国卷B题21

指数函数：2012年文数全国卷题21

设函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x-2$ .

（Ⅰ ）求 $f(x)$ 的单调区间;

（Ⅱ）若 $a=1$ ， $k$ 为整数，且当 $x \gt 0$ 时， $(x-k)f'(x)+x+1 \gt 0$ ，求 $k$ 的最大值.

参考答案：2012年文数全国卷题21

指数函数：2016年文数全国卷A题21

已知函数 $f(x)=(x-2) \mathrm{e}^{x}+a(x-1)^{2}$ .

（Ⅰ）讨论 $f(x)$ 的单调性;

（Ⅱ）若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

对数函数

对数函数：2011年文数全国卷题21

已知函数 $f(x)= \dfrac{a \ln x}{x+1}+\dfrac {b}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $x+2y-3=0$ .

（Ⅰ）求 $a$ ， $b$ 的值;

（Ⅱ）证明：当 $x \gt 0$ ，且 $x \ne 1$ 时， $f(x) \gt \dfrac{\ln x}{x-1}$ .

参考答案：2011年文数全国卷题21

对数函数：2017年文数全国卷C题21

已知函数 $f(x)=\ln x+a x^{2}+(2 a+1) x$ .

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性;

（2）当 $a \lt 0$ 时，证明 $f(x) \leqslant - \dfrac {3} {4a} -2$ .

参考答案：2017年文数全国卷C题21

对数函数：2016年文数全国卷B题20

已知函数 $f(x)=(x+1) \ln x-a(x-1)$ .

（I）当 $a=4$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线方程;

（Ⅱ）若当 $x \in (1,+\infty)$ 时， $f(x) \gt 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

参考答案：2016年文数全国卷B题20

对数函数：2016年文数全国卷C题21

设函数 $f(x)=\ln x -x +1$ .

（Ⅰ）讨论 $f(x)$ 的单调性;

（Ⅱ）证明当 $x \in (1,+\infty)$ 时， $1 \lt \dfrac {x-1}{\ln x} \lt x$ ;

（Ⅲ）设 $c \gt 1$ ，证明当 $x \in (0,1)$ 时， $1+(c-1)x \gt c^x$ .

参考答案：2016年文数全国卷C题21

对数函数与指数函数：2015年文数全国卷A题21

设函数 $f(x)=e^{2 x}-a \ln x$ .

（I）讨论 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)$ 零点的个数;

（Ⅱ）证明∶当 $a \gt 0$ 时， $f(x) \geqslant 2a + a\ln \dfrac {2}{a}$ .

参考答案：2015年文数全国卷A题21

对数函数：2015年文数全国卷B题21

已知函数 $f(x)=\ln x+a(1-x)$ .

（Ⅰ）讨论 $f(x)$ 的单调性;

（Ⅱ）当 $f(x)$ 有最大值，且最大值大于 $2a-2$ 时，求 $a$ 的取值范围.

对数函数：2015年文数全国卷B题21

对数函数：2014年文数全国卷A题21

设函数 $f(x)= a \ln x+ \dfrac {1-a} {2} x^{2} - b x(a \neq 1)$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $0$ .

（Ⅰ）求 $b$ ;

（Ⅱ）若存在 $x_0 \geqslant 1$ ，使得 $f(x_0) \lt \dfrac{a}{a-1}$ ，求 $a$ 的取值范围.

参考答案：2014年理数全国卷A题21

对数函数：2013年文数全国卷A题20

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}(a x+b)-x^{2}-4 x$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程为 $y=4x＋4$ .

（Ⅰ）求 $a$ ， $b$ 的值;

（Ⅱ）讨论 $f(x)$ 的单调性，并求 $f(x)$ 的极大值.

参考答案：2013年文数全国卷A题20

综合性问题

幂函数与解析几何：2008年文数海南卷题21

设函数 $f(x)=ax- \dfrac {b}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程为 $7x-4y -12 =0$ .

（Ⅰ）求 $f(x)$ 的解析式;

（Ⅱ）证明：曲线 $y=f(x)$ 上任一点处的切线与直线 $x=0$ 和直线 $y=x$ 所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

参考答案：2008年文数海南卷题21

高考理数全国卷大题：函数与导数

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