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高考数学各省卷：解析几何大题

高考数学各省卷：解析几何大题

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-11-23 07:08 被阅读0次

2016年理数北京卷题19

分值：14分

已知椭圆 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} =1(a\gt b \gt 0) 的离心率为 \dfrac{\sqrt{3}}{2}, A(a,0),B(0,b),O(0,0), \triangle OAB 的面积为 1.

（I）求椭圆 C 的方程；

（Ⅱ）设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.

求证：|AN| \cdot |BM| 为定值.

2016年理数天津卷题19

分值：14分

设椭圆 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{3} =1(a\gt \sqrt{3}) 的右焦点为 F，右顶点为 A.

已知 \dfrac{1}{|OF|} + \dfrac{1}{|OA|} =\dfrac{3e}{|FA|}，其中 O为原点，e为椭圆的离心率.

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B（ B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴交于点 H. BF\perp HF，且 \angle MOA \leqslant \angle MAO ，求直线 l 的斜率的取值范围.

2016年理数上海卷题21

分值：14分（第1小题6分，第2小题8分）

双曲线 x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1 的左、右焦点分别为 F_1、F_2，直线 l 过 F_2 且与双曲线交于 A、B 两点.

（1）若 1 的倾斜角为 \dfrac{\pi}{2}，\triangle F_1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设 b=\sqrt{3} . 若 l 的斜率存在，且 (\overrightarrow{F_1A} + \overrightarrow{F_1B} ) \cdot \overrightarrow{AB} =0，求 l 的斜率.

2016年理数江苏卷题18

分值：16分

如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M:x^2+y^2-12x-14y+60=0 及其上一点 A(2,4).

（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x=6 上，求圆 N 的标准方程；

（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B,C 两点，且 BC=OA，求直线 l 的方程；

（3）设点 T(t,0) 满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得 \overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ} ，求实数 t 的取值范围.

2016年理数江苏卷题18

2016年理数浙江卷题19

分值：15分

如图，设椭圆\dfrac{x^2}{a^2}+y^2 =1(a\gt 1).
（I）求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段长（用 a,k表示）
（Ⅱ）若任意以点 A(0,1) 为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

2016年理数山东卷题21

2016年理数山东卷题21

分值：14分

平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} =1(a\gt b \gt 0) 的离心率为 \dfrac{\sqrt{3}}{2}，抛物线 E:x^2=2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点.

（I）求椭圆 C 的方程；

（Ⅱ）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A,B，线段 AB 的中点为 D. 直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.

（i）求证：点 M 在定直线上；

（ii）直线 l 与 y 轴交于点 G，记 \triangle PEG 的面积为 S_1，\triangle PDM 的面积为 S_2，求 \dfrac{S_1}{S_2} 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标.

2016年理数山东卷题21

2016年理数四川卷题20

分值：13分

已知椭圆 E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} =1(a\gt b \gt 0) 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 l:y=-x+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.

（I）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；

（Ⅱ）设 O 是坐标原点，直线 l' 平行于 OT，与椭圆 E 交于不同的两点 A,B ，且与直线 l 交于点 P.

证明：存在常数 \lambda ，使得 |PT|^2=\lambda |PA|\cdot |PB|，并求 \lambda的值.

2017年北京卷题18

分值：18分

已知抛物线 C:y^2=2px 过点 P(1,1). 过点 (0,\dfrac{1}{2}) 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M,N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B，其中 O 为原点.

（I）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：A 为线段 BM 的中点.

2017年上海卷题18

分值：16分（第1小题4分，第2小时5分，第3小题7分）

在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 \Gamma:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1, A 为 \Gamma 的上顶点，P 为 \Gamma 上异于上、下顶点的动点. M 为 x 正半轴上的动点.
（1）若 P 在第一象限，且 |OP|=\sqrt{2} ，求 P 的坐标；
（2）设 P(\dfrac{8}{5},\dfrac{3}{5}). 若以 A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求 M 的横坐标；
（3）若 |MA|=|MP|，直线 AQ与 \Gamma 交于另一点 C，且 \overrightarrow{AQ}=2 \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{PQ} = 4 \overrightarrow{PM}, 求直线 AQ 的方程.

2017年天津卷题19

分值：14分

设椭圆 \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a\gt b \gt 0) 的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 \dfrac{1}{2}. 已知 A 是抛物线 y^2=2px(p \gt 0) 的焦点，F 到抛物线的准线 l 的距离为 \dfrac{1}{2}.

（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（Ⅱ）设 l 上两点 P,Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B（B 异于点 A），直线 BQ 与 x 轴相交于点 D. 若\triangle APD 的面积为 \dfrac{\sqrt{6}}{2}，求直线 AP 的方程.

2017年江苏卷题17

分值：14分

如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0) 的左、右焦点分别为 F_1,F_2 ，离心率为 \dfrac{1}{2}，两准线之间的距离为 8. 点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F_1 作直线 PF_1 的垂线 l_1，过点 F_2 作直线 PF_2 的垂线 l_2.

（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）若直线 l_1,l_2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标.

2017年江苏卷题17

2017年浙江卷题21

分值：15分

如图，已知抛物线 x^2=y, 点 A(1\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}),B(\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4}), 抛物线上的点 P(x,y)(-\dfrac{1}{2} \lt x \lt \dfrac{3}{2}) . 过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q.

（I）求直线 AP 斜率的取值范围；

（Ⅱ）求 |PA| \cdot |PQ| 的最大值.

2017年浙江卷题21

2017年山东卷题21

分值：14分

在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1(a\gt b \gt 0) 的离心率为 \dfrac{\sqrt{2}}{2}，焦距为 2.
（I）求椭圆 E 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线 l:y=k_1x -\dfrac{\sqrt{3}}{2} 交椭圆 E 于 A,B 两点，C 是椭圆 E 上一点，直线 OC 的斜率为 k_2，且 k_1k_2=\dfrac{\sqrt{2}}{4}，M 是线段 OC 延长线上一点，且 |MC|:|AB|=2:3，\odot M 的半径为 |MC|，OS,OT 是 \odot M 的两条切线，切点分别为 S,T. 求 \angle SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率.

2017年山东卷题21

2018年理数北京卷题19

分值：14分

已知抛物线 C:y^2=2px 经过点 P(1,2) . 过点 Q(0,1) 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B, 且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N.

（I）求直线 l 的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设 O 为原点，\overrightarrow{QM} =\lambda \overrightarrow{QO},\; \overrightarrow{QN} = \mu \overrightarrow{QO}，求证 \dfrac{1}{\lambda} + \dfrac{1}{\mu} 为定值.

2018年理数天津卷题19

分值：14分

设椭圆 \dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1(a\gt b \gt 0) 的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 \dfrac{5}{3}，点 A 的坐标为 (b,0), 且 |FB|\cdot|AB|=6\sqrt{2} .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线 l:y=kx(k \gt 0) 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若 \dfrac{|AQ|}{|PQ|}=\dfrac{5\sqrt{2}}{4}\sin\angle AOQ （O为原点），求 k 的值.

2018年理数江苏卷题18

分值：16分

如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点 \sqrt{3},\dfrac{1}{2},

焦点 F_1(-\sqrt{3},0),F_2(\sqrt{3},0), 圆 O 的直径为 F_1F_2,

（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；

（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P.

①若直线 l与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标;

②直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点.若 \triangle OAB 的面积为 \dfrac{2}{7}\sqrt{6}, 求直线 l 的方程.

2018年理数江苏卷题18

2018年理数浙江卷题21

分值：15分
如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C:y^2=4x 上存在不同的两点 A,B 满足 PA,PB 的中点均在 C 上.
（I）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；

（Ⅱ）若 P是半椭圆 x^2+\dfrac{y^2}{4} =1 (x\lt 0) 上的动点，求 \triangle PAB 面积的取值范围.

2018年理数浙江卷题21

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