证明:二次型f=x^TAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最

作者: Azur_wxj | 来源:发表于2020-05-14 11:01 被阅读0次

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证明：二次型 $f(x)=x^TAx$ 在 $\|x\|=1$ 时的最大值为矩阵 $A$ 的最大特征值 $\lambda_{max}$ ，其中 $A$ 是对称正定矩阵。

因为 $A$ 是对称矩阵，所以必定存在正交矩阵 $P$ 使得 $A=P\Lambda P^{-1}=P\Lambda P^T$ ，其中 $\Lambda$ 是 $A$ 的特征值组成的对角阵， $P$ 中列向量就是对应的特征向量。正交矩阵显然可逆，其逆为转置矩阵，所以可以写为 $\Lambda=P^TAP$ 。

又因为是正定矩阵，所以所有特征值都为正： $\lambda_i>0$ 。

我们做正交变换： $x=Py$ ，注意到正交变换是双射的保范变换： $\|x\|^2_2=x^Tx=(Py)^T(Py)=y^TP^TPy=y^Ty=\|y\|^2_2$
因此我们就有 $\begin{split} \max_{\|x\|_2=1}f(x) &=\max_{\|x\|_2=1}x^TAx\\ &=\max_{\|y\|_2=1}y^TP^TAPy\\ &=\max_{\|y\|_2=1}y^T\Lambda y\\ &=\max_{\sum_i y_i^2=1}\sum_i \lambda_i y_i^2\\ &\leqslant \lambda_{max} \max_{\sum_i y_i^2=1}\sum_i y_i^2=\lambda_{max} \end{split}$ 这样就得到了一个上界，现在我们证明确实能够取到这个上界。假设 $\lambda_{max}$ 是 $\Lambda$ 对角线上第 $i$ 个值，于是取 $y=e_i,x=P^{-1}y$ ，则 $\|x\|_2=\|y\|_2=1$ ，所以 $x^TAx=y^T\Lambda y=e_i^T\Lambda e_i=\lambda_{max}$ 这就证明了 $\max_{\|x\|_2=1}f(x)\geqslant \lambda_{max}$
所以我们有 $\max_{\|x\|_2=1}f(x)=\lambda_{max}$

我们因此还可以证明 $\min_{\|x\|_2=1}f(x)=\lambda_{min}$

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