0是无穷小吗？

作者: 遨游于学海 | 来源:发表于2023-12-04 15:30 被阅读0次

和标题相关的类似的语句在很多地方写得很绕。
事实上，我们首先需要知道什么是无穷小（无穷小有时也称作无穷小量）。
无穷小是指在自变量的某一变化过程中，极限为0的一个函数，例如，有 $\lim_{x \to x_0}f(x)=0$ ，那么称 $f(x)$ 是在 $x \to x_0$ 时的无穷小。
也就是说，无穷小指的是此时的 $f(x)$ ，而不是 $\lim_{x \to x_0}f(x)$ ，右侧的 $0$ 依然是常数，因为它是一个极限，极限是一个常数。
所谓的作为无穷小的0不是指等号右侧的那个，而是等号左侧、极限符号右侧的那个作为常值函数的0（即 $f(x)=0$ ），显然当 $f(x)=0时$ ，有 $\lim_{x \to x_0} f(x)=\lim_{x \to x_0} 0=0.$ ，即 $f(x)=0$ 是 $x \to x_0$ 时的无穷小。
非零的常值函数极限都是它本身，也就不可能为0，即对于常值函数而言，只有0可以作为无穷小。