专题：正交矩阵

作者: 抄书侠 | 来源:发表于2019-03-05 00:03 被阅读0次

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例题

例3.3（1）上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角元为 $1$ 或 $-1$ .
（2）如果正交矩阵 $A$ 是分块上三角矩阵，则 $A$ 是分块对角矩阵，且 $A$ 的主对角线上的所有子矩阵都是正交矩阵。
例3.10设 $A$ 为 $n$ 阶正交矩阵，则
（1） $A$ 的复特征值的模为 $1$ ，从而 $A$ 的实特征值只能为 $1$ 或 $-1$ ，虚特征值成对互为共轭.
（2）若 $\lambda=a+b i(a, b \in R, b \neq 0)$ 是 $A$ 的特征值， $\xi=\alpha+\beta i\left(\alpha, \beta \in R^{n}\right)$ 是 $A$ 的属于特征值入的特征向量，则 $\beta \neq 0, \alpha, \beta$ 长度相等且正交.
例3.11设 $\sigma$ 为 $n$ 欧氏空间 $V$ 的正交变换， $\sigma$ 在 $V$ 的标准正交基 $e_{1}, \cdots, e_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，则 $A$ 为正交阵，若复数 $a+bi$ 为 $A$ 的特征值， $\alpha+\beta i\left(\alpha, \beta \in R^{n}\right)$ 为对应的特征向量.则（1） $\begin{aligned} A \alpha &=a \alpha-b \beta, A \beta=b \alpha+a \beta \\ \sigma(\hat{\alpha}) &=a \hat{\alpha}-b \hat{\beta}, \sigma(\hat{\beta})=b \hat{\alpha}+a \hat{\beta} \end{aligned}$ 其中
$\hat{\alpha}=\left(e_{1}, \cdots\right) \alpha, \hat{\beta}=\left(e_{1}, \cdots\right) \beta$
（2）若 $b\not= 0$ ，则 $|\alpha|=|\beta|,(\alpha, \beta)=0$ .从而 $|\hat{\alpha}|=|\hat{\beta}|,(\hat{\alpha}, \hat{\beta})=0$ .
（3） $V$ 可以分解为 $1$ 维或 $2$ 维彼此正交的 $\sigma$ 的不变子空间的直和.
例3.12（大连理工04）设 $V$ 为 $4$ 维欧氏空间， $\sigma$ 为 $V$ 的一个正交变换.若 $\sigma$ 无实特征值，则 $V$ 可以分解为 $\sigma$ 的两个正交的不变子空间的直和.
例3.13（大连理工03）设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间， $\sigma$ 是正交变换，在 $V$ 的标准正交基下的矩阵为 $A$ ，证明：
（1）若 $u+vi$ 为 $A$ 的一个虚特征根，则存在 $\alpha,\beta\in V$ 使得 $\sigma \alpha=u \alpha+v \beta, \sigma \beta=-v \alpha+u \beta$
（2）若 $A$ 的特征值皆为实数，则 $V$ 可分解为一些两两正交的一维不变子空间的直和.
（3）（华东师大03）若 $A$ 的特征值皆为实数，则 $A$ 为对称阵。
例3.17（北京邮电07） $A \in R^{n \times n}, A \neq 0, n \geq 3$ .则 $A$ 为正交阵的充要条件为 $A^T=A^*或A=-A^*$
即
$a_{ij}=A_{ij}或a_{ij}=-A_{ij}$
例3.21设 $A=（a_{ij}）$ 为n阶实矩阵，定义。 $\sigma(A)=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j}^{2}$ 证明： $A$ 为正交矩阵的充要条件为对任意的 $n$ 阶实矩阵 $B$ 都有 $\sigma\left(A B A^{T}\right)=\sigma(B)$ .
例3.22设A是n阶正交矩阵，则存在正交矩阵T使得

image.png
例3.26设

A

是正交矩阵且

|Al=1

.则存在正交矩阵

S

使得

A=S^2

.
例3.27设

A

是正交矩阵，且

|Al=1

，则对于任意的偶数

t

，存在正交矩阵

B

使得

A=B^t

.
例3.29设

\alpha,\beta

是欧氏空间

R^n

（标准内积）的两个长度相等的向量，

\alpga\not=\beta

，则存在镜像矩阵

A

使得

Ax=B

.
例3.30（南开大学2009）设

\alpha \in R^{n \times 1}

，且在

R^{n\times 1}

上的标准度量下

\alpha

为单位向量.证明：必存在一个

n

阶实对称正交矩阵

A

使得

\alpha

为

A

的第一列.
例3.32设

A

是

n

阶正交阵.证明：

\operatorname{rank}(A-E)=\operatorname{rank}(A-E)^{2}

参考文献

http://www.52gd.org/?p=248

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