专题：正交矩阵

作者: 抄书侠 | 来源:发表于2019-03-05 00:03 被阅读0次

专题：正交矩阵
标准正交基与正交矩阵
正交矩阵
线性代数笔记17
奇异值分解（SVD）
正交矩阵
第30课奇异值分解
正交矩阵
正交普鲁克问题 Procrustes analysis
3D数学基础及图形开发(八)正交矩阵及齐次矩阵

例题

例3.3（1）上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角元为 $1$ 或 $-1$ .
（2）如果正交矩阵 $A$ 是分块上三角矩阵，则 $A$ 是分块对角矩阵，且 $A$ 的主对角线上的所有子矩阵都是正交矩阵。
例3.10设 $A$ 为 $n$ 阶正交矩阵，则
（1） $A$ 的复特征值的模为 $1$ ，从而 $A$ 的实特征值只能为 $1$ 或 $-1$ ，虚特征值成对互为共轭.
（2）若 $\lambda=a+b i(a, b \in R, b \neq 0)$ 是 $A$ 的特征值， $\xi=\alpha+\beta i\left(\alpha, \beta \in R^{n}\right)$ 是 $A$ 的属于特征值入的特征向量，则 $\beta \neq 0, \alpha, \beta$ 长度相等且正交.
例3.11设 $\sigma$ 为 $n$ 欧氏空间 $V$ 的正交变换， $\sigma$ 在 $V$ 的标准正交基 $e_{1}, \cdots, e_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，则 $A$ 为正交阵，若复数 $a+bi$ 为 $A$ 的特征值， $\alpha+\beta i\left(\alpha, \beta \in R^{n}\right)$ 为对应的特征向量.则（1） $\begin{aligned} A \alpha &=a \alpha-b \beta, A \beta=b \alpha+a \beta \\ \sigma(\hat{\alpha}) &=a \hat{\alpha}-b \hat{\beta}, \sigma(\hat{\beta})=b \hat{\alpha}+a \hat{\beta} \end{aligned}$ 其中
$\hat{\alpha}=\left(e_{1}, \cdots\right) \alpha, \hat{\beta}=\left(e_{1}, \cdots\right) \beta$
（2）若 $b\not= 0$ ，则 $|\alpha|=|\beta|,(\alpha, \beta)=0$ .从而 $|\hat{\alpha}|=|\hat{\beta}|,(\hat{\alpha}, \hat{\beta})=0$ .
（3） $V$ 可以分解为 $1$ 维或 $2$ 维彼此正交的 $\sigma$ 的不变子空间的直和.
例3.12（大连理工04）设 $V$ 为 $4$ 维欧氏空间， $\sigma$ 为 $V$ 的一个正交变换.若 $\sigma$ 无实特征值，则 $V$ 可以分解为 $\sigma$ 的两个正交的不变子空间的直和.
例3.13（大连理工03）设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间， $\sigma$ 是正交变换，在 $V$ 的标准正交基下的矩阵为 $A$ ，证明：
（1）若 $u+vi$ 为 $A$ 的一个虚特征根，则存在 $\alpha,\beta\in V$ 使得 $\sigma \alpha=u \alpha+v \beta, \sigma \beta=-v \alpha+u \beta$
（2）若 $A$ 的特征值皆为实数，则 $V$ 可分解为一些两两正交的一维不变子空间的直和.
（3）（华东师大03）若 $A$ 的特征值皆为实数，则 $A$ 为对称阵。
例3.17（北京邮电07） $A \in R^{n \times n}, A \neq 0, n \geq 3$ .则 $A$ 为正交阵的充要条件为 $A^T=A^*或A=-A^*$
即
$a_{ij}=A_{ij}或a_{ij}=-A_{ij}$
例3.21设 $A=（a_{ij}）$ 为n阶实矩阵，定义。 $\sigma(A)=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j}^{2}$ 证明： $A$ 为正交矩阵的充要条件为对任意的 $n$ 阶实矩阵 $B$ 都有 $\sigma\left(A B A^{T}\right)=\sigma(B)$ .
例3.22设A是n阶正交矩阵，则存在正交矩阵T使得

image.png
例3.26设

A

是正交矩阵且

|Al=1

.则存在正交矩阵

S

使得

A=S^2

.
例3.27设

A

是正交矩阵，且

|Al=1

，则对于任意的偶数

t

，存在正交矩阵

B

使得

A=B^t

.
例3.29设

\alpha,\beta

是欧氏空间

R^n

（标准内积）的两个长度相等的向量，

\alpga\not=\beta

，则存在镜像矩阵

A

使得

Ax=B

.
例3.30（南开大学2009）设

\alpha \in R^{n \times 1}

，且在

R^{n\times 1}

上的标准度量下

\alpha

为单位向量.证明：必存在一个

n

阶实对称正交矩阵

A

使得

\alpha

为

A

的第一列.
例3.32设

A

是

n

阶正交阵.证明：

\operatorname{rank}(A-E)=\operatorname{rank}(A-E)^{2}

参考文献

http://www.52gd.org/?p=248

专题：正交矩阵
例题例3.3（1）上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且对角元为或.（2）如果正交矩阵是分块上三角矩阵，则是分块对角矩...
标准正交基与正交矩阵
标准正交基标准正交基.PNG 坐标变换坐标变换.PNG 正交矩阵正交矩阵.PNG
正交矩阵
什么是正交矩阵满足公式的矩阵就是正交矩阵，那么正交矩阵有什么特性呢？将A表示由行向量组成的矩阵，则根据公式，...
线性代数笔记17
第十七节正交基正交矩阵标准正交基 orthonormal basis 设则即，单位矩阵只有当正交点积非0...
奇异值分解（SVD）
一些基础关于正交矩阵正交矩阵是指各行所形成的多个向量间任意拿出两个,都能正交关系式，正交矩阵的重要性质是AT=...
正交矩阵
定义：若n阶矩阵A满足则称A为正交矩阵定理：A为正交矩阵的充要条件是A的列向量和行向量都是标准（规范）正交基。...
第30课奇异值分解
奇异值分解：简称，是矩阵最终和最好的分解，分解的因子是正交矩阵，对角矩阵，正交矩阵，任意矩阵都有这种奇异值分解对...
正交矩阵
转置矩阵为其逆矩阵。
正交普鲁克问题 Procrustes analysis
正交 Procrustes 问题：给定两个阶实矩阵和，求一个阶实正交矩阵 Q，，使得具有最小值[...
3D数学基础及图形开发(八)正交矩阵及齐次矩阵
正交矩阵:一个矩阵乘以它的转置如果为单位矩阵的话，我们称为正交矩阵。那么我们就可以得到它的逆就等于它的转置，我们就...

专题：正交矩阵

例题

参考文献

相关文章

专题：正交矩阵

标准正交基与正交矩阵

正交矩阵

线性代数笔记17

奇异值分解（SVD）

正交矩阵

第30课奇异值分解

正交矩阵

正交普鲁克问题 Procrustes analysis

3D数学基础及图形开发(八)正交矩阵及齐次矩阵

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读