向量
1. 首先让我们了解什么是标量
标量亦称“无向量”。有些物理量，只具有数值大小，而没有方向，部分有正负之分。这些量之间的运算遵循一般的代数法则。用通俗的说法，标量是只有大小，没有方向的量。
物理学中，标量指在坐标变换下保持不变的物理量。
2. 那什么是向量呢？
向量是有方向的标量，即不仅有大小，还有方向
2.1 单位向量
在 X轴上的向量 (1,0,0). 向量⻓度为1. 我们称为⻓度为1的向量为单位向量.
向量⻓度(向量的模)计算公式: 如果⼀个向量不是单位向量, ⽽我们把它缩放到1.这个过程叫做标准化. 将⼀个向量进⾏标准化就是将它的缩为1; 也叫做单位化向量
向量长度通过下列公式计算
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2.2 向量 点乘
- 点乘只能发生在两个向量之间，且点乘时，两向量必须是单位向量，如果不是，需要将向量进行单位化后，再点乘
- 点乘得到的是两个向量之间的夹角的余弦值 即 cos α，范围在[-1, 1]之间，是一个标量
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- OpenGL中针对相应点乘，提供了两个函数
#mark m3dDotProduct3：获得2个向量量之间的点乘结果，即余弦值 = cos α
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v)
#mark m3dGetAngleBetweenVector3：获取2个向量之间夹⻆的弧度值，即α = arccos(余弦值)
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
2.3 向量 叉乘
- 两个向量之间叉乘得到结果同样是一个向量，且该向量垂直于两个向量所构成的平面
- 由于结果与两向量构成平面垂直，也可以理解为得到的结果是该平面的法线
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- OpenGL中针对相应叉乘，也提供了函数
#mark m3dCrossProduct3 函数获得2个向量之间的叉乘结果得到⼀个新的向量
void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f u ,const M3DVector3f v);
2.3 OpenGL 如何定义向量 [ math3d 库]
math3d库，有2个数据类型，能够表示⼀个三维或者四维向量。
-
M3DVector3f可以表示⼀个三维向量（x,y,z）， -
M3DVector4f则可以表示⼀个四维向量（x,y,z,w).
在典型情况下，w坐标设为1.0。x,y,z值通过除以w，来进⾏缩放。⽽除以1.0则本质上不改变x,y,z值。
//三维向量/四维向量的声明
typedef float M3DVector3f[3];
typedef float M3DVector4f[4];
//声明⼀个三维向量 M3DVector3f:类型 vVector:变量名
M3DVector3f vVector;
//声明⼀个四维向量并初始化⼀个四维向量
M3DVector4f vVertex = {0,0,1,1};
//声明⼀个三分量顶点数组，例如⽣成⼀个三⻆形
//M3DVector3f vVerts[] = {
-0.5f,0.0f,0.0f,
0.5f,0.0f,0.0f,
0.0f,0.5f,0.0f
};
矩阵
1. 我们为什么要用矩阵
假设, 在空间有⼀个点.使⽤ xyz 描述它的位置. 此时让其围绕任意位置旋转⼀定⻆度后. 我们需要知道这个点的新的位置. 此时需要通过矩阵进⾏计算;
为什么?
因为新的位置的x 不单纯与原来的x还和旋转的参数有关. 甚⾄于y和z坐标有关;矩阵只有⼀⾏或者⼀列都是合理的. 只有⼀⾏或者⼀列数字可以称为向量. 也可以称为矩阵;
2. 单位矩阵
- 主对角线上数据都是1，其余元素都是0，即为单元矩阵
- 向量 X 单元矩阵 = 向量 X 1，不会发生任何变化
- 向量与单元矩阵相乘的前提是：向量的列数 == 单元矩阵的行数
2.1 矩阵分类
- 行优先矩阵：一行一行读取
- 列优先矩阵：一列一列读取
- 两者的关系为：行优先矩阵经过转置 即可的到列优先矩阵
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2.2 矩阵的点乘
- 矩阵可以进行点乘的前提：两个矩阵的行列数相等
- 矩阵A · 矩阵B = 矩阵C
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2.3 矩阵的叉乘
- 矩阵可以进行叉乘的前提：第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数
- 矩阵A X 矩阵B = 矩阵C
矩阵A第一行与矩阵B第一列对应元素乘积的综合 = 矩阵C的第一个元素
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2.4 OpenGL中的矩阵
- OpenGL中单元矩阵有3中初始化方法
#mark 1.通过GLFloat定义一个一维数组
GLFloat m[] = {
1,0,0,0, //X Column
0,1,0,0, //Y Column
0,0,1,0, //Z Column
0,0,0,1 // Translation
}
#mark 2.单元矩阵初始化⽅式
M3DMatrix44f m = {
1,0,0,0, //X Column
0,1,0,0, //Y Column
0,0,1,0, //Z Column
0,0,0,1 // Translation
}
#mark 3.单元矩阵初始化⽅式
void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);
- OpenGL中，使用较多的矩阵都是一维数组创建的，且规定使用以列为主的矩阵排序。
- OpenGL中的矩阵都是4x4的，每一列都是由4个元素组成的向量,⼀个4*4矩阵是如何在3D空间中表示⼀个位置和⽅向的列向量
特别的标注：矩阵的最后⼀⾏都为0，只有最后⼀个元素为1 -
如果将⼀个对象所有的顶点向量 乘以这个矩阵,就能让整个
对象变换到空间中给定的位置和⽅向;
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2.5 OpenGL中的矩阵相乘
2.5.1 线性代数角度去分析
- 数学中为了方便计算，都是以行矩阵为标准，从左到右的顺序进行计算，所以在数学中，顶点将以行向量的方式表示
- 从数学角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是行向量，要满足矩阵相乘的规定条件（即 叉乘的前提），必须将
mvp矩阵放在右边，属于右乘
顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro
顶点向量 = 顶点 * 模型矩阵 * 观察矩阵 * 投影矩阵
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2.5.2 OpenGL角度
- OpenGL中的矩阵规定是以列为主，所以顶点以列向量的方式表示
- 从OpenGL角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是列向量，如果项进行矩阵规则，就需要满足矩阵相乘的条件，需要将
mvp矩阵的顺序颠倒为pvm，且放在列向量的左边，属于左乘
变换顶点向量 = M_pro * M_view * M_model * V_local
变换顶点向量 = 投影矩阵 * 视图变换矩阵 * 模型矩阵 * 顶点
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OpenGL矩阵堆栈中矩阵相乘源码分析
- 1.从栈顶获取栈顶矩阵，复制到mTemp
- 2.将栈顶矩阵 mTemp 左乘 mMatrix
- 3.将结果放回栈顶，覆盖栈顶矩阵
源码分析
而我们在观察者不动、物体动的观察方式中，根据之前Demo代码可知
代码分析
//2.模型视图矩阵栈堆，压栈
modelViewMatrix.PushMatrix();
//3.获取摄像头矩阵
M3DMatrix44f mCamera;
//从camereaFrame中获取矩阵到mCamera
cameraFrame.GetCameraMatrix(mCamera);
//模型视图堆栈的 矩阵与mCamera矩阵 相乘之后，存储到modelViewMatrix矩阵堆栈中
modelViewMatrix.MultMatrix(mCamera);
//4.创建矩阵mObjectFrame
M3DMatrix44f mObjectFrame;
//从ObjectFrame 获取矩阵到mOjectFrame中
objectFrame.GetMatrix(mObjectFrame);
//将modelViewMatrix 的堆栈中的矩阵 与 mOjbectFrame 矩阵相乘，存储到modelViewMatrix矩阵堆栈中
modelViewMatrix.MultMatrix(mObjectFrame);
- 由此我们可以知道得到投影矩阵，将投影矩阵压入投影矩阵堆栈栈顶，并与模型视图矩阵栈顶相乘，将结果覆盖栈顶，即 投影矩阵 * 单元矩阵 = 投影矩阵
- 将栈顶矩阵copy一份，然后将观察者矩阵与模型视图矩阵堆栈栈顶相乘，其结果覆盖栈顶矩阵，即投影矩阵 * 视图矩阵 = 视图投影矩阵
- 得到模型矩阵，将模型矩阵与栈顶矩阵相乘，其结果覆盖栈顶矩阵，即 栈顶 = 模型视图投影矩阵
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