怎么求函数在闭区间上的最值？

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-07-19 20:30 被阅读0次

最值
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求函数在闭区间上的最值

导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.

使用情景：一般函数类型

解题模板：

第一步求出函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内所有极值点；

第二步计算函数 $f(x)$ 在极值点和端点的函数值；

第三步比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

【例】若函数 $f(x)=e^x+x^2-mx$ ，在点 $(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $e+1$ ．

（1）求实数 $m$ 的值；

（2）求函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最大值．

【解析】

（1） $f'(x)=e^x+2x-m$ ，

$\therefore f'(1)=e+2-m$ ，

即 $e+2-m=e+1$ ，

解得 $m=1$ ；

（2） $f'(x)=e^x+2x-1$ 为递增函数，

$\therefore f'(1)=e+1>0$ ， $f'(-1)=e^{-1}-3<0$ ,

存在 $x_0 \in [-1,1]$ ，使得 $f'(x_0)=0$ ，

所以 $f(x)$ ， $f'(x)$ 在 $[-1,1]$ 内的变化如下表：

$x$	$(-1,x_0)$	$x_0$	$(x_0,1)$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	单元格	单元格	单元格

所以 $f(x)_{max}=\max \{f(-1),f(1) \}$ ,

$f(-1)=e^{-1}+2,f(1)=e$

$\therefore f(x)_{max}=f(1)=e$

【总结】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题；导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：

①已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、

②已知曲线求切线倾斜角的范围.

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