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三角之目：2015年理数天津卷题15

三角之目：2015年理数天津卷题15

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-05-28 20:30 被阅读0次

2015年理数天津卷题15

已知函数 f(x)=\sin^2x-\sin^2(x-\dfrac{\pi}{6}),\;x \in \boldsymbol{R}.

（Ⅰ）求 f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求 f(x) 在区间 [-\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{4}]上的最大值和最小值.

【解答问题Ⅰ：思路一】

\sin^2x=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \cos 2x,

\sin^2(x-\dfrac{\pi}{2})= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \cos (2x-\dfrac{\pi}{3}),

∴ f(x) = \dfrac{1}{2}[ \cos (2x-\dfrac{\pi}{3}) - \cos 2x ]

= - \sin(2x-\dfrac{\pi}{6}) \sin (-\dfrac{\pi}{6})

∴ f(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x-\dfrac{\pi}{6})

f(x) 的最小正周期为 \pi.

【解答问题Ⅰ：思路二】

\sin x + \sin(x-\dfrac{\pi}{6}) = 2 \sin(x-\dfrac{\pi}{12}) \cos\dfrac{\pi}{12}

\sin x - \sin(x-\dfrac{\pi}{6}) = 2 \cos(x-\dfrac{\pi}{12}) \sin\dfrac{\pi}{12}

f(x)= [\sin x + \sin(x-\dfrac{\pi}{6})] \cdot [\sin x - \sin(x-\dfrac{\pi}{6})]

=2\sin(x-\dfrac{\pi}{12})\cos(x-\dfrac{\pi}{12}) \cdot 2 \sin\dfrac{\pi}{12}\cos\dfrac{\pi}{12}

= \sin(2x-\dfrac{\pi}{6}) \sin (\dfrac{\pi}{6})

∴ f(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x-\dfrac{\pi}{6})

f(x) 的最小正周期为 \pi.

【解答问题Ⅱ】

令 \theta = 2x-\dfrac{\pi}{6}, 则

-\dfrac{\pi}{3} \leqslant x \leqslant - \dfrac{\pi}{6}, -\dfrac{5\pi}{6}\leqslant \theta \leqslant -\dfrac{\pi}{2}, 函数 f(x) 单调递减，

-\dfrac{1}{2}\geqslant \sin\theta \geqslant -1 , -\dfrac{1}{4} \geqslant f(x) \geqslant -\dfrac{1}{2};

-\dfrac{\pi}{6} \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{4}, -\dfrac{\pi}{2}\leqslant \theta\leqslant\dfrac{\pi}{3}, 函数 f(x) 单调递增，

-\dfrac{1}{2} \leqslant \sin\theta \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{4}, -\dfrac{1}{2} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{4};

综上所述，在区间 [-\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{4}]上，f(x) 的最大值为 \dfrac{\sqrt{3}}{4} ；最小值为 -\dfrac{1}{2}.

【提炼与提高】

本题并没有用到高深的知识和复杂的技巧，但是要想拿全分数也并不容易。

我们把本题涉及的公式罗列如下：

\sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}

\cos A - \cos B = -2 \sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}

\sin A + \sin B = 2 \sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}

\sin A - \sin B = 2 \cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}

2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta

以上公式中，有时需要加负号；有时需要乘以 2 或者 \dfrac{1}{2}. 相当一部分考生会在这些问题上出现混淆.

解决的办法有三个方面：一是要熟悉公式的推导，要确保自己能够流畅地写出公式的推导过程，千万不要孤立地 “背公式”；二是要实际演算一批真题，数量不必太多，可以多练几遍，确保流畅；其三是注意书写规范，万一计算错误，还可以拿到过程分.

关于函数的周期，请牢记如下公式：函数 f(x)=\sin(\omega x + \varphi)的最小正周期 T=\dfrac{2\pi}{\omega}.

关于正弦函数的单调性，可以结合单位圆记忆.

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