近世代数理论基础22：中国剩余定理

近世代数理论基础22：中国剩余定理

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-02-28 07:36 被阅读9次

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中国剩余定理

设R是一个环, $I$ 是R的理想,对于 $x,y\in R$ ,若 $x-y\in I$ ,则称x与y模I同余,记作 $x\equiv y(mod\; I)$

当 $I$ 和 $J$ 都是环R的理想时,它们的乘积 $IJ$ 也是R的理想,且 $IJ\subseteq I\cap J$

推广到有限多个理想：设 $I_1,I_2,\cdots,I_n$ 是环R的理想,定义集合 $\prod\limits_{j=1}^n I_j=I_1I_2\cdots I_n$ 为所有的有限和

$a_1b_1\cdots c_1+a_2b_2\cdots c_2+\cdots+a_kb_k\cdots c_k$

其中 $a_1,a_2,\cdots,a_k\in I_1$ , $b_1,b_2,\cdots,b_k\in I_2$ , $\cdots$ , $c_1,c_2,\cdots,c_k\in I_n$

易证 $\prod\limits_{j=1}^nI_j$ 是环R的理想,且 $\prod\limits_{j=1}^nI_j\subseteq I_1\cap I_2\cap \cdots\cap I_n$

理想互素

设 $R$ 是含幺交换环, $I,J$ 为环R的理想,若 $I+J=R$ ,则称 $I$ 与 $J$ 互素

由定义,若 $I$ 与 $J$ 互素,则 $\exists a\in I,b\in J$ ,使得 $a+b=1$

引理：设R为含幺交换环, $I$ 和 $J$ 是环R的理想,且 $I$ 与 $J$ 互素,则 $\forall r_1,r_2\in R$ , $\exists r\in R$ ,使 $r\equiv r_1(mod\; I),r\equiv r_2(mod\; J)$ 同时成立

证明：

$由理想互素的定义$

$\exists a\in I,b\in J,使a+b=1$

$令r=r_2a+r_1b$

$由r-r_1=r_2a+r_1(b-1)=(r_2-r_1)a\in I$

$r-r_2=r_2(a-1)+r_1b=(r_1-r_2)b\in J$

$r即为所求\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：设 $m,n\in Z$ ,且 $m$ 与 $n$ 互素,则理想 $I=(m)=mZ$ 与 $J=(n)=nZ$ 互素

由扩展欧几里得算法, $\exists x,y\in Z$ ,使 $mx+ny=1$ ,取 $a=mx,b=ny$ ,则 $a\in I,b\in J$ ,且 $a+b=1$

$\forall r_1,r_2\in Z$ , $r=nyr_2+mxr_1$ 为方程组 $\begin{cases}r\equiv r_1(mod\;m)\\r\equiv r_2(mod\; n)\end{cases}$ 的解

定理：设R是含幺交换环, $I_1,I_2,\cdots,I_n$ 是环R的理想,且两两互素,则 $\forall r_1,r_2,\cdots,r_n\in R$ , $\exists x\in R$ ,使得 $x\equiv r_j(mod\; I_j),1\le j\le n$ ,若y也满足这个性质,即 $\forall 1\le j\le n$ ,有 $y\equiv r_j(mod\; I_j)$ ,则 $x\equiv y(mod\; I_1\cap I_2\cap \cdots\cap I_n)$

证明：

$先证I_1与\prod\limits_{j=2}^nI_j互素$

$由题设$

$\forall 2\le j\le n,理想I_1与I_j互素$

$\therefore \exists a_2,a_3,\cdots,a_n\in I_1,b_2\in I_2,b_3\in I_3,\cdots,b_n\in I_n$

$使a_2+b_2=1,a_3+b_3=1,\cdots,a_n+b_n=1$

$\therefore 1=(a_2+b_2)(a_3+b_3)\cdots(a_n+b_n)$

$=a_2a_3\cdots a_n+\cdots \in I_1+\prod\limits_{j=2}^nI_j$

$\therefore I_1+\prod_{j=2}^nI_j=R$

$即I_1与\prod\limits_{j=2}^nI_j互素$

$对元1和0,\exists s_1\in R,使得$

$s_1\equiv 1(mod\; I_1),s_1\equiv 0(mod\; \prod\limits_{j=2}^n I_j)$

$\forall 2\le k\le n,由\prod\limits_{j=2}^nI_j\subseteq I_k$

$s_1\equiv 0(mod\; I_k)$

$同理,\forall 2\le j\le n,\exists s_j\in R,使得$

$s_j\equiv 1(mod\ I_j)$

$且k\neq j时s_j\equiv 0(mod\; I_k)$

$令x=\sum\limits_{k=1}^nr_ks_k$

$则\forall 1\le j\le n,有$

$x-r_j=(\sum\limits_{k\neq j}r_ks_k)+r_j(s_j-1)\equiv 0(mod\; I_j)$

$即x\equiv r_j(mod\; I_j)$

$若\exists y\in R满足y\equiv r_j(mod\; r_j),1\le j\le n$

$则\forall 1\le j\le n,有x\equiv y(mod\; I_j)$

$\therefore x\equiv y(mod\; I_1\cap I_2\cap \cdots\cap I_n)$

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