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P22-P30联合分布函数

P22-P30联合分布函数

作者: 陈文瑜 | 来源:发表于2019-09-26 22:08 被阅读0次

联合分布函数

  • 联合分布函数定义
    F(x,y) = P(X<=x,Y<=y)
    称为X与Y的联合分布函数
  • 边缘分布函数
    只有X或只有Y
    F_X(x) = P(X<=x)=P(X<=x,y<\infty）

二维离散型随机变量联合分布

P（X=x_i,Y=y_i）=p_{ij}\quad,\quad(i,j=1,2,...)

  • 性质：\sum_i\sum_jp_{ij} = 1
  • 边缘分布
    X的边缘分布 (这个(1)代表的是第一个维度特征)
    P(X=x_i)=\sum_j P(X=x_i,Y=y_j)=\sum_j p_{ij}=p_i^{(1)}
    Y的边缘分布 (这里的(2)表示第二个唯独特征)
    P(Y=y_j)=\sum_i P(X=x_i,Y=y_j)=\sum_i p_{ij}=p_j^{(2)}

二维连续型随机变量

  • 联合密度函数
    F(x,y)=P(X<=x,Y<=y)=\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(s,t)dsdt
    f(x,y)为(X,Y)的联合密度

  • 边缘分布函数
    F_x(x) = P(X<=x,Y<+\infty)=\int_{-\infty}^x\int _{-\infty}^{+\infty}f(s,t)dsdt

  • 注意：对谁求积分，就没有了谁

  • 所以X的边缘密度函数
    f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy

  • 这个函数的结果只包含了x

二维正太分布

  • 联合密度函数。。。。
  • 边缘密度函数。。。

条件分布

  • 条件概率

  • 已知一个变量的情况，问另外一个变量的分布，叫条件分布

  • A发生的条件下，X的条件分布函数
    F(x|A) = P\{X<=x|A\}

  • Y=y_j条件下随机变量X的条件分布
    P(X=x_i|Y=y_j)=\frac {P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)} = \frac {p_{ij}}{p_j^{(2)}}

F(X|Y=y_j) = P(X<=x|Y=y_j) = \sum_{x_i<=x}P(X=x_i|Y=y_j)

连续型随机变量条件分布

  • 中值定理
    f(x) 在 [a,b] 连续，\exists \delta \in [a,b] 使得 \int _a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a)
    即 \frac 1 {b-a} \int _a^b f(x)dx = f(\xi)
    也就是\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac 1 {\epsilon} \int _y^{y+\epsilon} f_Y(v)dv = \lim _{\epsilon \rightarrow 0} f_Y(\xi)
  • 连续型随机变量的密度函数f(x,y)边缘密度函数 f_X(x) 、f_Y(y)
    称 f(x|y) = \frac {f(x,y)}{f_Y(y)} \quad (f_Y (y)>0) 为 Y=y条件下X的条件密度函数

也有 分布函数F(x|y) = \int _{- \infty}^x \frac {f(x,y)}{f_Y(y)}dx

独立性

F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)

二维连续型 随机 变量函数 的分布

(X,Y) 联合密度函数f(x,y)，Z=g(X,Y) 求Z的密度函数f_z(z)

  • Z的分布函数
    F_z(z) = P(Z<=z) = P(g(X,Y)<=z) = P((X,Y) \in G_z) = \iint _{(X,Y) \in G_z }f(x,y)dxdy
  • Z的密度函数
    f_z(z) = (F_z(z))^\prime

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