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P22-P30联合分布函数

P22-P30联合分布函数

作者: 陈文瑜 | 来源:发表于2019-09-26 22:08 被阅读0次

    联合分布函数

    • 联合分布函数定义
      F(x,y) = P(X<=x,Y<=y)
      称为X与Y的联合分布函数
    • 边缘分布函数
      只有X或只有Y
      F_X(x) = P(X<=x)=P(X<=x,y<\infty)

    二维离散型随机变量联合分布

    P(X=x_i,Y=y_i)=p_{ij}\quad,\quad(i,j=1,2,...)

    • 性质:\sum_i\sum_jp_{ij} = 1
    • 边缘分布
      X的边缘分布 (这个(1)代表的是第一个维度特征)
      P(X=x_i)=\sum_j P(X=x_i,Y=y_j)=\sum_j p_{ij}=p_i^{(1)}
      Y的边缘分布 (这里的(2)表示第二个唯独特征)
      P(Y=y_j)=\sum_i P(X=x_i,Y=y_j)=\sum_i p_{ij}=p_j^{(2)}

    二维连续型随机变量

    • 联合密度函数
      F(x,y)=P(X<=x,Y<=y)=\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(s,t)dsdt
      f(x,y)(X,Y)的联合密度

    • 边缘分布函数
      F_x(x) = P(X<=x,Y<+\infty)=\int_{-\infty}^x\int _{-\infty}^{+\infty}f(s,t)dsdt

    • 注意:对谁求积分,就没有了谁

    • 所以X的边缘密度函数
      f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy

    • 这个函数的结果只包含了x

    二维正太分布

    • 联合密度函数。。。。
    • 边缘密度函数。。。

    条件分布

    • 条件概率

    • 已知一个变量的情况,问另外一个变量的分布,叫条件分布

    • A发生的条件下,X的条件分布函数
      F(x|A) = P\{X<=x|A\}

    • Y=y_j条件下随机变量X的条件分布
      P(X=x_i|Y=y_j)=\frac {P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)} = \frac {p_{ij}}{p_j^{(2)}}

    F(X|Y=y_j) = P(X<=x|Y=y_j) = \sum_{x_i<=x}P(X=x_i|Y=y_j)

    连续型随机变量条件分布

    • 中值定理
      f(x) 在 [a,b] 连续,\exists \delta \in [a,b] 使得 \int _a^b f(x)dx = f(\xi)(b-a)
      即 \frac 1 {b-a} \int _a^b f(x)dx = f(\xi)
      也就是\lim _{\epsilon \rightarrow 0} \frac 1 {\epsilon} \int _y^{y+\epsilon} f_Y(v)dv = \lim _{\epsilon \rightarrow 0} f_Y(\xi)
    • 连续型随机变量的密度函数f(x,y)边缘密度函数 f_X(x) 、f_Y(y)
      f(x|y) = \frac {f(x,y)}{f_Y(y)} \quad (f_Y (y)>0)Y=y条件下X的条件密度函数

    也有 分布函数F(x|y) = \int _{- \infty}^x \frac {f(x,y)}{f_Y(y)}dx

    独立性

    F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)

    二维连续型 随机 变量函数 的分布

    (X,Y) 联合密度函数f(x,y),Z=g(X,Y) 求Z的密度函数f_z(z)

    • Z的分布函数
      F_z(z) = P(Z<=z) = P(g(X,Y)<=z) = P((X,Y) \in G_z) = \iint _{(X,Y) \in G_z }f(x,y)dxdy
    • Z的密度函数
      f_z(z) = (F_z(z))^\prime

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