Python数学建模极简入门（二）差分方程

差分方程这名字大家可能不太熟悉，其实差分方程指的是下面这种：

差分方程

其实就是我们数学中数列的递推公式，在以前学数学的时候，往往要通过递推公式来求通项公式才能快速地得到某一项的值，现在借助编程的话，仅仅有递推公式就足够生成一个数组了。

所以利用差分方程建模的关键在于如何得到第n组数据与第n+1组数据之间的关系。

实例1：培养皿中酵母菌数量的增长模型

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生物工程专业的同学们可能接触过这样的试验，也画过这样的曲线。下面我们给不知道的同学们科普一下：

这个模型当然比之前的弹簧伸长模型要复杂一点。不知道大家还记不记得高中生物书上有一副这样的图：

细菌培养曲线

如图所示我们用培养基培养细菌时，其数量变化通常会经历这四个时期。
而酵母菌因为生长周期长，我们经常能在小木虫或者丁香园上看见有人问：为何我的酵母菌培养了四五天还没有出现衰亡期啊？？
在这个模型里面我们只针对前三个时期建一个大致的模型：调整期、对数期、稳定期。

数据分析

多说无益，我们先看数据：

时间	酵母菌数量	变化（Pn+1 - Pn）
0	9.6	8.7
1	18.3	10.7
2	29	18.2
3	47.2	23.9
4	71.1	48
5	119.1	55.5
6	174.6	82.7
7	257.3	93.4
8	350.7	90.3
9	441.0	72.3
10	513.3	46.4
11	559.7	35.1
12	594.8	34.6
13	629.4	11.4
14	640.8	10.3
15	651.1	4.8
16	655.9	3.7
17	659.6	2.2
18	661.8	---

根据以上数据我们可以很轻松的用Python画出酵母菌数量与时间和ΔP之间的关系的图形（详情请看上期推荐的matplotlib的简单教程）

import matplotlib.pyplot as plt 
time = [i for i in range(0,19)]
number = [9.6,18.3,29,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,\
          350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,\
          651.1,655.9,659.6,661.8]
plt.title('Relationship between time and number')#创建标题
plt.xlabel('time')#X轴标签
plt.ylabel('number')#Y轴标签
plt.plot(time,number)#画图
plt.show()#显示

画出来的图是这样的（这个图是自己画的，第一期的是书本上的图）

尝试建模

这个图形看起来是不是很奇怪，这个模型的变化规律是什么呢？该如何建立这个模型呢，我们接下来分析一下：
1.强行拟合

对于这种模型我们当然也可以像上一期一样直接用numpy拟合，这个图形嘛，有点点像三次函数，我们可以试着用三次函数拟合一下试试，方法跟上期一样。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
time = [i for i in range(0,19)]
number = [9.6,18.3,29,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,\
          350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,\
          651.1,655.9,659.6,661.8]         
f = np.polyfit(time,number,3)
y = np.polyval(f,time)#根据拟合之后的函数来求函数值
plt.plot(time,y,color = 'b')#根据函数值画图并设定颜色
plt.title('Relationship between time and number')
plt.xlabel('time')
plt.ylabel('number')
plt.plot(time,number,color = 'r')
plt.show()

图形是这样的：

其中红色的原数据，蓝色是拟合之后的函数图像。

这种方法简单粗暴，在数据非常充足的时候是适用的，而在这个实例中我们要得到的是酵母菌数量随着时间变化的规律，主要拟合的话很难保证18h以后还能保持很好的拟合度。

这样拟合有个问题就是18小时之后的种群速度是会继续缓慢增长（抛物线形）还是逼近一个极限值（双曲线型）呢？

2.结合理论知识分析

数学建模即将实际问题转换为数学问题，这势必要了解实际问题的内部机理。
下面我们来对这个模型中的原理来分析一下，酵母菌培养是个很常见的实验，不了解的可以上网查查资料。
酵母菌数量增长有一个这样的规律：当某些资源只能支撑某个最大限度的种群数量，而不能支持种群数量的无限增长，当接近这个最大值时，种群数量的增长速度就会慢下来。

这个模型较为成熟的建立方式是通过差分方程来建立，我们来分析一下：

1. 首先以两个观测点的值差Δp来表征增长速度。
2. Δp与目前的种群数量有关，数量越大，增长速度越快。
3. Δp还与剩余的未分配的资源量有关，资源越多，增长速度越快。
4. 然后以极限总群数量与现有种群数量的差值来表征剩余资源量。

这样是不是模型是不是已经呼之欲出了（由表中猜测极限值是665，是多少都不重要）。

Δp = p_n+1 - p_n = k（665-p_n）p_n

公式中加了一个系数k，主要求出k值，这个模型就算完成了。

如何使用Python求系数k呢？？

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上面的式子中Δp和（665-p_n）p_n是不是成线性关系，我们只要根据数据求出二者的值，然后按上一期教程拟合一下，得到斜率就是我们所需要的k值了。

import numpy as np
pn = [9.6,18.3,29,47.2,71.1,119.1,174.6,\
      257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,\
      640.8,651.1,655.9,659.6]
deltap = [8.7,10.7,18.2,23.9,48,55.5,\
          82.7,93.4,90.3,72.3,46.4,35.1,\
          34.6,11.4,10.3,4.8,3.7,2.2]     
pn = np.array(pn)
factor = pn*(665-pn)
f = np.polyfit(factor,deltap,1)
print(f)

输出结果是这样的，前一个是系数，后一个是截距。

0.00081448 -0.30791574

至此，酵母菌这个模型就讲解完毕了，方程是：
Δp = p_n+1 - p_n = 0.00081448（665-p_n）p_n

拟合后的图形就不用画了吧，按前面讲的方法自己画一画，很简单的。

@乡土老农 问到这个图像怎么画，代码是这样的：

import matplotlib.pyplot as plt
p0 = 9.6
p_list = []
for i in range(20):
    p_list.append(p0)    
    p0 = 0.00081448*(665-p0)*p0+p0
plt.plot(p_list)
plt.show()

image.png

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