全概率与贝叶斯公式

作者: 喜忧参半 | 来源:发表于2021-08-15 00:22 被阅读0次

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全概率与贝叶斯公式

全概率公式(由因求果)

定理:设试验E的样本空间为S,A为E的事件，B₁,B₂,…,B_n,为S的一个划分，且P(B_i)>0(i=1,2,….,)，
则P(A)=P(B₁)·P(A|B₁) +P(B₂)·P(A|B₂)+…+P(B_n)·P(A|B_n)=
$\sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i)$

贝叶斯公式(bayes)(由果导因)

定理:设E的样本空间为S，A为E的事件，B₁,B₂,,…B_n为S的一个划分，且P(A)>0,P(B_i)>0 (i=1,2,…,n)，则
$P(B_i|A)={P(AB_i) \over P(A)}={P(B_j)·P(A|B_i) \over {\sum_{j=0}^n P(B_j)·P(A|B_i)}}$ 其中将A看成结果，将B看成导致结果A的原因

例：某电子设备制造厂使用的元件是由三家工厂提供的，根据以往的记录有如下数据。

元件制造厂	次品率	提供元件的份额
1	0.02	0.15
2	0.01	0.80
3	0.03	0.05

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.
(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率;
(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品由三家工厂生产的概率分别是多少?

解：设：事件A:取到一只次品，
事件B_i：所取产品由第i家工厂提供，i=1,2,3.
易知 B₁，B₂，B₃是S的一个划分。
先将随机事件符号化：
P(B₁)=0.15，P(B₂)=0.80，P(B₃)=0.05.
P(A|B₁)=0.02,P(A|B₂)=0.01,P(A|B₃)=0.03.
(1)"由因求果的概率问题"
由全概率公式
$P(A)=P(B~1~)·P(A|B~1~)+P(B~2~)·P(A|B~2~)+P(B~3~)·P(A|B~3~)=0.0125$
(2)"由果导因的概率问题"
由贝叶斯公式
$P(B_1|A)= {P(AB_1) \over P(A)}={P(B_1)·P(A|B_1)\over 0.0125}=0.24$
$P(B_2|A)= {P(AB_2) \over P(A)}={P(B_2)·P(A|B_2)\over 0.0125}=0.64$
$P(B_3|A)= {P(AB_3) \over P(A)}={P(B_3)·P(A|B_3)\over 0.0125}=0.12$
1、乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试的结果相互独立),如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收．设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少?
解：此题通过音色纯与否，判断乐器是否被接受，显然是一个

\color{red}{由因求果}

的题目，应该采用全概率公式。
已知100件乐器中，随机抽取3件测试，一共有C₁₀₀³种取法。取法分为4种情况,并且作为样本空间的划分。
取到的乐器音色情况如下：

样本空间	音色纯数量	音色不纯数量
H₀	3	0
H₁	2	1
H₂	1	2
H₃	0	3

由于乐器被接收要求测试中音色都纯，因此四种情况下，都应该被检测纯正。已知音色纯被测试纯的概率是0.99，而音色不纯被检测成纯的概率是0.05。由于测试的结果之间相互独立，即P(AB)=P(A)×P(B)。
因此随机抽取3件乐器情况的概率为：

抽到乐器的概率P(H_i)	并且被检测纯的概率P(A\|H_i)
$P(H_0)={C^3_{96} \over C^3_{100}}$	$P(A\|H_0)={0.99}^{3}$
$P(H_1)={C^2_{96}×C^1_4 \over C^3_{100}}$	$P(A\|H_1)={0.99}^{2}*0.05$
$P(H_2)={C^1_{96}×C^2_4\over C^3_{100}}$	$P(A\|H_2)={0.99}*0.05^2$
$P(H_3)={C^3_4 \over C^3_{100}}$	$P(A\|H_2)=0.05^3$

因此通过全概率公式可得：乐器被接收的概率P(A)为
$P(A)={P(H_0)*P(A|H_0)}$ + ${P(H_1)*P(A|H_1)}$ + ${P(H_2)*P(A|H_2)}$ + ${P(H_3)*P(A|H_3)}=0.8629$

2、甲, 乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的概率为p,p≥1/2. 问对甲而言,采用三局二胜制有利, 还是采用五局三胜制有利?
解：
若采用三局两胜制，若甲胜，则有三种情况

情况	胜局过程	胜利概率
H₀	甲-甲	p²
H₁	甲-乙-甲	p(1-p)p
H₂	乙-甲-甲	(1-p)*p²

因此采用三局两胜制，甲获胜的概率为： $p_1=p^2+p^2(1-p)+(1-p)p^2$ $=p^2+2p^2(1-p)$
若采用五局三胜制，若甲胜，则有三种情况

情况	甲获胜局数	胜利概率
H₀	3	$p^3$
H₁	4	$C^2_3×p^2(1-p)p$
H₂	5	$C^2_4×p^2(1-p)^2p$

因此采用五局三胜制，甲获胜的概率为：
$p_2=p^3+C^2_3×p^2(1-p)p+C^2_4×p^2(1-p)^2p$         $=p^3+3p^3(1-p)+6p^3(1-p)^2$
如此，若问采用哪种制度更有利，就是比较p₁和p₂大小。
$p_2-p_1=p^2(6p^3-15p^2+12p-3)$
                 $=3p^2(2p^3-5p^2+4p-1)$
                 $=3p^2(p-1)^2(2p-1)$
当p> $\frac{1}{2}$ 时， $p_2>p_1$ ，五局三胜对甲更有利。
当p= $\frac{1}{2}$ 时， $p_2=p_1$ ，两人获胜概率相同。