逻辑回归作为被广泛使用的二分类模型，面试中自然是不可缺少的。但要深刻理解逻辑回归又不是那么容易的，比如说，逻辑回归输出的值是0到1之间的值，这个值是真实的概率吗？逻辑回归为什么要选择sigmoid函数的形式，而不是其他将数值映射到0到1之间的形式？本文试图给出一个尽可能简单明了的分析。

一、从一个例子开始

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假设你在一家金融公司工作，老板交给你一个任务，建一个模型，用来预测一个借款人是否会违约，公司拥有一个借款人的特征数据，比如年龄。

将是否违约作为标签变量y，0表示没有违约，1表示违约。在给定特征x的情况下，我们假设 y 是一个服从伯努利分布的二值随机变量。注意，这是我们做的第一个假设哦！从某种意义上讲，模型准不准，首先要看假设合不合理。

我们的任务用数学语言描述就是，寻找一个模型，输入x后，可以告诉我们y所服从的随机分布的参数，知道参数后，就可以计算y的期望作为预测。

具体到违约预测，上面所说的随机分布就是指伯努利分布，该分布的参数就是Φ=P(y=1)，同时也是该分布的期望。

请认真体会一下我们的思路：

• 1、对每一个确定的x，y仍然是一个随机变量
• 2、该随机变量服从某个随机分布
• 3、努力求出这个随机分布的参数
• 4、求出该随机分布的期望
• 5、将期望作为预测值

二、从更高的层次看待伯努利分布

那么，如何根据x求出y所属的伯努利分布的参数Φ呢。

直接看，似乎没什么思路，我们需要换个角度。

伯努利分布实际上属于某一大类分布中的一种情况。这一大类分布就是指数分布族。
这就好比， x + 1=0是一个方程，但从更广泛的角度来看，它只是 ax + b = 0一次方程的一种具体情况而已。

从指数分布族的角度来分析，我们很容易构建起x与伯努利分布参数的联系。

3、指数分布族

下面，我们就来看看指数分布族是什么样子，如果你是第一次看到它，很可能是这样：

初见指数分布族

请放轻松，它只是看起来有些复杂，实际上并不难。

指数分布族

为了简化理解，你可以自动忽略η上面的大写字母T，仅仅将η作为一个实数来理解。

它其实是在告诉我们：
对于一个随机变量x，只要你确定三个函数，就可以确定一类分布。
这三个函数就是：

• h(x)
• T(x)
• A(η)
  η用来确定该类分布的具体参数。

对于我们的伯努利分布，这三个函数是什么样子呢？我们可以从伯努利分布出发，一路变形到与指数分布族一样的形式。如下所示：

微信图片_20180610220220.jpg

请认真看看上面的变形推导过程。可以看到，伯努利分布确实可以改写成指数分布族的形式。并且，伯努利分布的参数Φ与η之间，还有一个sigmoid的函数关系。

4、最后一步

现在，我们看到，伯努利分布确实是指数分布族的一个特殊情况，它的参数Φ与指数分布族中的参数η还有对应关系。
这意味着，我们如果能找到x和η之间的关系，那么也就找到了x和Φ之间的关系。

在这里，我们需要再做一个假设，那就是
η和x之间存在线性的关系！！注意，这是我们做的第二个假设哦。即：
η = θx。

有了这个假设，我们的模型训练过程就是这样的：

• 对一个x，根据 θx算出η
• 根据η算出Φ
• 因为Φ既是伯努利分布的唯一参数，也是该分布的期望，所以将Φ作为预测值。
• 计算Φ与真实的标签y之间的误差loss。（通常用交叉熵）
• 通过SGD来更新θ，降低loss。

这不就是我们的逻辑回归么？

5总结

可见，逻辑回归模型之所以是sigmoid 的形式，源于我们假设y服从伯努利分布，伯努利分布又属于指数分布族，经过推导，将伯努利分布变成指数分布族的形式后。我们发现伯努利分布的唯一参数Φ与指数分布族中的参数η具有sigmoid函数关系，于是我们转而求η与x的关系，此时，我们又假设η与x具有线性关系。
至此，找到了我们要用的模型的样子，也就是逻辑回归。

回答文章开头的问题，逻辑回归输出的到底是不是概率呢？答案是如果你的情况满足本文所说的两个假设，那么你训练模型的过程，就确实是在对概率进行建模。

这两个假设并不是那么容易满足的。所以，很多情况下，我们得出的逻辑回归输出值，无法当作真实的概率，只能作为置信度来使用。