初中代数（二）：运算

运算律

运算律适用于所有实数，以下a, b 均可以是任意实数

• 加法交换律：a + b = b + a
• 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
• 乘法交换律：ab = ba
• 乘法结合律：(ab)c = a(bc)
• 乘法分配律：a(b + c) = ab + ac
• 乘方运算律：
  a^m × aⁿ = a^m+n
  a^m ÷ aⁿ = a^m-n
  (a^m)ⁿ = a^mn
  (ab)^m = a^m·b^m
  (a/b)^m = a^m / b^m

几个变种：
a + b - c = a - c + b
a(b - c) = ab - ac
(a + b)c = ac + bc
(a - b)c = ac - bc
(a + b)(c + d) = ac + bd + bc + bd

逆向思维：
ab + ac = a(b + c)
a^m+n = a^m × aⁿ
a^m-n = a^m ÷ aⁿ

4.5-3.2+1.1-1.4 可以看做 4.5, -3.2, 1.1, -1.4 这四个数的代数和的简写形式，因此 a + b - c = a - c + b 符合加法交换律
通过运算律可以简化运算

运算法则

加法法则

• 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，(-7) + (-3) = -10
• 异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，(-9) + 6 = -3
• 相反数的和为0
• 任何数与0相加，不变

减法法则

• 减去一个数，等于加上这个数的相反数，a - b = a + (-b)

乘法法则

• 同号得正，异号得负
• 任何数同 0 相乘为 0

除法法则

• 除以一个非 0 数，等于乘以这个数的倒数
• 同号得正，异号得负
• 0 不可以做除数
• 0 除以非 0 数，都为 0

去括号法则

• 负负得正，负正得负

(-7) + (-3) = -7 - 3
9 - (-6) = 9 + 6
5x - (2x² + 3xy) = 5x - 2x² - 3xy
-3(3x + 4) = -9x -12
-(a-b) + (-c-d) = -a + b - c - d
-(a-b) - (-c-d) = -a + b + c +d

乘方

求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方
即：aⁿ = a × a × a × ... × a (n 个 a相乘) ，a 称为底数，n 称为指数

• 指数可以是正数
  5⁶ = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
  (-2)⁴ = (-2) × (-2) × (-2) × (-2)
  注意：(-2)⁴ 与 -2⁴ 的区别

• 指数可以是 0
  a⁰ = 1 (a≠0)

• 指数可以是负数
  a^-n = 1/aⁿ (n 是正整数)
  a^-2 = 1/a²

• 底数是 0
  0⁰ = 0
  0² = 0
  0^-2 不存在

科学计数法

将绝对值较大的数写成 a × 10ⁿ 的形式，其中 a 位于 [1, 10)，n 表示将小数点向右移动 n 位
3.14 × 10⁶ 表示将小数点向右移动 6 位

n 比原数的位数少 1
3 140 000 = 3.14 × 10⁶
1 000 000 = 1 × 10⁶
57 000 000 = 5.7 × 10⁷
-123 000 000 000 = -1.23 × 10¹¹

将绝对值较小的数（绝对值小于1的数）写成 a × 10^-n 的形式，其中 a 位于 [1, 10)，n 表示将小数点向左移动 n 位
3.14 × 10^-6 表示将小数点向左移动 6 位

n 表示开头一共有 n 个 连续的 0 (包括小数点前的 0)
0.00023 = 2.3 × 10^-4
0.00105 = 1.05 × 10^-3 (只包括开头的 0)

开方

如果 x² = a，则 x 叫做 a 的平方根(二次方根)，记作 ±√a，其中 √a 叫做算数平方根
如果 x³ = a，则 x 叫做 a 的立方根(三次方根)，记作 ³√a
求 a 的平方根或者立方根的运算叫做开方
a 叫做被开方数

被开方数注意事项：

• 求√a，则 a 和 √a 都是非负数
• 求 ³√a，则 a 和 ³√a 可以是正数、0、负数

开平方注意事项：

• 正数有两个平方根，互为相反数，±√a
• 负数没有平方根
• 0 的平方根和算数平方根都是 0

开立方注意事项：

• 正数有一个立方根，还是正数
• 负数有一个立方根，还是负数
• 0 的立方根是 0