四色定理证明
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证明过程
步骤1：若任意多面体四色可染，则可证四色定理中任意平面图（或地图）四色可染。比较简单的证明方法是将一平面做一个镜面对照，中间充气，就变成了一个体。关键是怎么证明一个多面体四色可染。
证明任一多面体四色可染，我们先处理一下这个多面体，将国中有国或者一个国家与两国国家相邻的部分剔除掉。通俗的讲或理解起来就是剩下的每个国家最少有三个相邻国家。并且边境形成一个回路。举个例子如
图1
图1是这个体的一部分中间是一个六边形，他与六个国家（或区域）相邻，边境只有一个回路，当然这个体上的某一个国家（或区域）可以是三边形，四边形等等。总之这个体都是由多边形组成（注意剔除后有可能不能形成体，后面我们会提到这种情况）。
<!--已知四色可染等价于，不存在五面，每面和其它4面相邻，即不存在五面两两相邻。-->
步骤2：(关键证明)
任意多面体面体，4，5，6....面体，换一个角度，称之为多点体，4，5，6....点体。四点体（四面体）4色，每面和其它3面相邻，五点体可以看成四点体增加了一个点。当然你可以逆着想，五点体减少一个点，成为四点体，同理6，7，8......点体。而且我们可知任意N+1点体，可由N点体变化而来，当然，也可以逆着想。下面分析，若N点体四色可染，N点体多加一个点时（或N+1点体 到 N点体过程...），其实相当于补上了一个棱锥（或者像棱锥，底面不平的那种，底面有特点不能含有点，不然点就会减少），因为可逆，由N+1一定能变化成N，所以一定能由N点体到N+1点体，棱锥的底和N点体消失的面照镜子，神奇的一幕发生了，新的相邻关系未发生根本性的变化。N点体消失的面的临面减一临面，又加一临面，锥体侧面同理减一临面，增加一临面，锥体因为存在三角形，不会引入五面相邻，N点体消失的面的临面和锥体的侧面以及其它三面，这五面不会出现两两相邻（因为锥体侧面只与三面相邻），N点体消失的面的临面和其它四面（不包含锥体侧面），也不会出现五面两两相邻现象（已知条件），4面 到 n面 相邻关系始终没有发生根本性的变化 即 "五面两两相邻"的现象不会出现。
所以多点体四色可染。
所以，一个多面体四色可染（每个面是多边形）四色可染。
////////////////////////证法 2 //////////////////////
证明一球体（或多面体）不会出现五面两两相邻现象。为了方便，我们把面抽象成点，假设五点两两相邻，则四点必两两相邻，我们在球面上布设这五个点，先布设三个点两两相邻，再布设第四个点，最后布设第五个点，在球面无法布设第五个点，使其五点两两相联，所以球面不会出现五面两两相邻。得证！！！
////////////////////////证法 2 end /////////////
步骤3：接下来我们再证国中的国，或一个国家外边界与两个国家相邻的情况，也就是剔除的那些，我们将剔除的那部分，将边缘撮起来（通俗的理解加上个底面），让它形成一个体，只要证明这个体最多四色可染即可。如此往复。还有注意一点如果一个体剔除某些情况后不能形成体，也就是前面提到的，所以只需证明被剔除的那部分最多四色可染即可。
所以任意多面体最多四色可染，所以任意平面图最多四色可染。
最后考虑一下剔除这个概念，示意一下
图4
图5
或者其它的可以拓扑成这种形式，再剔除，当然A中可以包含其它国家，B中可以包含多个类似A的结构。
讨论一下，想一想，我们先剔除国中有国（内部不含国家），和一国与两国相邻（内部不含国家），简单的情况，剩下的就是国中有国还有国的，再剔除这种情况，再证明这种情况最多四色可染。
后记：剔除的都有特点，不是一个回路（多个回路），或回路上的交点少于三个。
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