四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
笔者在2017年初无聊时候研究四色定理，花费了4个小时，得此证明方法，本想发表在数学杂志的，但是觉得太麻烦，就发表在这吧。并且该方法可以证明环面5色，或者N色定理适用拓扑结构。
证明过程如下：
首先我们明确几个概念：
区域：(可以理解为国家)，其含有边界（有限长度的曲线或者直线），边界围绕起来构成一个封闭的面积
边界线：区域与区域之间相邻（国家接壤）的地方。在概念上，其长度有限，没有宽度。
通道：每一条连续的边界线上可以用一条唯一的通道表示，具体定义看下边。
1）我们将这个四色命题转换为其等价命题，即平面内不可能存在5个相邻的区域，两两相邻。（倘若存在，则表明，每一个区域都会与4个区域相邻，需要5种颜色才能辨别）
图1，四色区域示意图
2）何为相邻？（即区域接壤，接壤的意思就是在区域A和区域B之间有一条边界线，从区域A跨过该边界线之后可以直达区域B，从区域B跨过该边界线可以直达区域A，跨越AB之间的边界线，不可能达到其他区域，请以国界线做想象）。只要区域A和区域B相邻，则存在一条“通道”，该通道跨越AB之间的边界，可以从A到B，从B到A。通道将存在如下性质：
a) 同一条边界线(两个区域之间的，连续的线段或曲线)可以用唯一通道表示。
b) 通道可长可短，可直可曲，可拉伸，可压缩，其意义不变，我们用最短线段表示即可。
c) 通道的一端表示区域A，另一端表示区域B
d) 通道是不可以交叉的（不存在交点，只有端点）（因为你可能从区域A跨越同一条边界，既可以到达区域B又到达区域C）
3）做一个想象，我们将边界线描粗一些（各个区域的实际意义，相对位置都不会变化，你也可以想象平面是个弹性薄膜，可以拉伸）。通道意义不变，区域意义也不变。通道的两个端点可以代表区域，通道连线可以代表边界（相邻）。继续描粗。
图3、边界线描粗或平面拉伸
4) 继续描粗，直到区域ABCD在比例上可以塌缩为一个点，但其意义依然不变。接下来四色定理的命题再一次转换等价命题。“平面内不可能存在5个点(代表5个区域)，两两之间存在连线(通道，相邻)且不会交叉（通道不可以交叉）”
图4，塌缩到极端的四色区域表示
5）证明上述命题，可以使用穷举法，如下：
a)先确定两个区域，AB，那么AB可以构成一条线段，再增加区域C，区域C可能有两种位置，如下图，要么在延长线上(直线关系)，要么在延长线外（三角关系），但是直线关系中，A和C已经非两两相连，所以排除，只能是三角关系，三角关系中ABC已经两两相连且不交叉。
图5-1，C的可能位置
b) 同理，增加区域D，D可能在三角关系的延长线上，或者三角内部，或者三角的扩展外部，有两种位置下，D可以跟ABC构成两两相连且不交叉，但皆可以归结为右侧图形。
图5-2，四个区域点，两两相连，且不交叉
c) 同理，增加区域E，但在平面上无法在找到任何一个点，可以与ABCD两两相连，且不交叉了。由此证明“平面内不可能存在5个点，两两之间存在连线且不交叉”，继而证明四色定理为真。
更深层次的证明。我们依然来证明“平面内不可能存在5个点，两两之间存在连线且不交叉”。
通过上述方法，我们可以发现，原来的区域平面，被翻译为了“通道”平面，如下图示意。
图6, 平面翻译
翻译前后，所有的点，所有的线依然处于该平面之内。其表示为平面中可以有无数个点，每个点都可以和相邻的点画连线。连线不可以交叉。将满足欧拉公式。
V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，V+F-E=X(P)
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。
如果一个联通平面图 有v个顶点、 e条边、 f个面，那么v-e+f=2
倘若翻译之前平面中的点、线、面满足欧拉公式，翻译之后，所有的点、线，面皆处于该平面内，那么其依然应该满足欧拉公式。以四色平面为例。翻译之前四个面，F=4，每个面两两相邻，即e=6，可推导出V=4，翻译之后V=4, e=6，可推导出，F=4，可以看到翻译前后，v,e,f都是取其最大可能值。刚好满足v-e+f=2.
（这里有一个有意思的地方，一个多面体，倘若满足N色定理，那么我们在多面体上取这N个面，Cn2条边，翻译之后必定可以得到其通道平面上有N个顶点，Cn2条边，进而依据欧拉公式发现面与点数量一致，进而发现其通道平面和其原始平面在图形上其实是一致的）
倘若五面呢？翻以前e必须是10(5选2组合)，F=5，翻译后e=10,v=5，所以应该是v=5,f=5,e=10，v-e+f=0，由X(P)=2-2h得h=1，表示该多面体必须有一个洞，没错，这就是一个游泳圈。或者环面，环面用5色就可以搞定。
如果是6色呢，f=6,v=6,e=15，得到h=-1/2，哈，这是什么东西，类似一个克莱因瓶的那种结构。需要6色。
理论上，我们可以推到出一个拓扑结构，需要的最少颜色是多少种类。之前有人说环面七色定理，实际上是错误的。环面5色就够了
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